Question

7．（1）．如图1，小明和小亮在研究一个数学问题：已知AB∥CD，AB和CD都不经过点P，探索∠P与∠A，∠C的数量关系．

小明是这样证明的：过点P作PQ∥AB
∴∠APQ=∠A（两直线平行，内错角相等，）
∵PQ∥AB，AB∥CD．
∴PQ∥CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行）             
∴∠CPQ=∠C
∴∠APQ+∠CPQ=∠A+∠C
即∠APC=∠A+∠C
小亮是这样证明的：过点作PQ∥AB∥CD．
∴∠APQ=∠A，∠CPQ=∠C
∴∠APQ+∠CPQ=∠A+∠C
即∠APC=∠A+∠C
请在上面证明过程的过程的横线上，填写依据；两人的证明过程中，完全正确的是小明．
（2）应用：
在图2中，若∠A=120°，∠C=140°，则∠APC的度数为100°；
（3）拓展：
在图3中，探索∠APC与∠A，∠C的数量关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）过点P作PQ∥AB，根据平行线的性质得出∠APQ=∠A，∠C=∠CPQ，即可得出答案；
（2）根据平行线的性质得出∠A+∠APQ=180°，∠C+∠CPQ=180°，求出∠APQ和∠CPQ，即可得出答案；
（3）根据平行线的性质得出∠C=∠POB，根据三角形外角性质得出∠APC=∠POB-∠A，代入求出即可．

解答 解：（1）如图1，过点P作PQ∥AB，
∴∠APQ=∠A（两直线平行，内错角相等），
∵PQ∥AB，AB∥CD，
∴PQ∥CD（平行于同一直线的两直线平行），
∴∠CPQ=∠C，
∴∠APQ+∠CPQ=∠A+∠C，
即∠APC=∠A+∠C；
故答案为：两直线平行，内错角相等，平行于同一条直线的两条直线互相平行，小明；

（2）如图2，过P作PQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴PQ∥AB∥CD，
∴∠A+∠APQ=180°，∠C+∠CPQ=180°，
∵∠A=120°，∠C=140°，
∴∠APQ=60°，∠CPQ=40°，
∴∠APC=∠APQ+∠CPQ=100°，
故答案为：100°；

（3）∠APC=∠C-∠A，
理由是：如图3，∵AB∥CD，
∴∠C=∠POB，
∵∠APC=∠POB-∠A，
∴∠APC=∠C-∠A．

点评 本题考查了平行线的性质，三角形外角性质的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键．