Question

17．如图，AB是⊙O的直径，BC为⊙O的切线，D为⊙O上的一点，CD=CB，延长CD交BA的延长线于点E．
（1）求证：CD为⊙O的切线．
（2）若圆心O到弦DB的距离为1，∠ABD=30°，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）

Answer 1

分析 （1）首先连接OD，由BC是⊙O的切线，可得∠ABC=90°，又由CD=CB，OB=OD，易证得∠ODC=∠ABC=90°，即可证得CD为⊙O的切线；
（2）在Rt△OBF中，∠ABD=30°，OF=1，可求得BD的长，∠BOD的度数，又由S_阴影=S_扇形OBD-S_△BOD，即可求得答案．

解答 （1）证明：连接OD，
∵BC是⊙O的切线，
∴∠ABC=90°，
∵CD=CB，
∴∠CBD=∠CDB，
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB，
∴∠ODC=∠ABC=90°，
即OD⊥CD，
∵点D在⊙O上，
∴CD为⊙O的切线；

（2）解：过点O作OF⊥BD于点F，
在Rt△OBF中，
∵∠ABD=30°，OF=1，
∴∠BOF=60°，OB=2，BF=$\sqrt{3}$，
∵OF⊥BD，
∴BD=2BF=2$\sqrt{3}$，∠BOD=2∠BOF=120°，
∴S_阴影=S_扇形OBD-S_△BOD=$\frac{120π×{2}^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×1=$\frac{4}{3}$π-$\sqrt{3}$．

点评 此题考查了切线的判定与性质、垂径定理以及扇形的面积．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．