Question

16．已知一元二次方程x²-4mx+4m²+2m-4=0，其中m为常数．
（1）若该一元二次方程有实数根，求m的取值范围；
（2）设抛物线y=x²-4mx+4m²+2m-4的顶点为M，点O为坐标原点，当m变化时，求线段MO长度的最小值．

Answer 1

分析 （1）由题意可知：△≥0，列出不等式即可求出m的范围；
（2）求出用m表示M的坐标，然后可知M的坐标在直线y=x-4的图象上，由集合性质即可求出OM的最小长度．

解答 解：（1）由题意可知：△=（-4m）²-4（4m²+2m-4）
=-8m+16≥0，
∴m≤2
（2）y=（x-2m）²+2m-4
∴顶点M的坐标为：（2m，2m-4），
∴点M在直线l：y=x-4的图象上，
当OM⊥l时，此时OM的长度最小，
设直线l与x轴交于点A，与y轴点B，
令x=0和y=0代入y=x-4，
∴A（4，0），B（0，-4）
∴△AOB是等腰直角三角形，
∵OM⊥l
∴OM的最小值为：2$\sqrt{2}$

点评 本题考查二次函数的最值，解题的关键是熟练运用二次函数的性质，本题属于中等题型．