Question

19．已知m，n满足m+n=4，mn=k-1，设y=（m-n）²
（1）当k被5整除时，求证：y能被20整除；
（2）若m，n都为非负数，y存在最大值和最小值吗？若存在，请求之；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）首先根据k被5整除，可以设k=5t（t是整数），然后根据m+n=4，mn=k-1=5t-1，应用完全平方公式，用含有t的代数式表示出y，判断出y能被20整除即可．
（2）根据m，n都为非负数，以及mn≤${（\frac{m+n}{2}）}^{2}$，m+n=4，判断出k的取值范围，即可判断出y是否存在最大值和最小值，如果存在的话，根据二次函数的最值的求法，求出y的最大值和最小值各是多少即可．

解答 （1）证明：当k被5整除时，设k=5t（t是整数），
∵m+n=4，mn=k-1=5t-1，
∴y=（m-n）²
=（m+n）²-4mn
=4²-4（5t-1）
=20-20t
=20（1-t）
∵20（1-t）÷20=1-t，
∴y能被20整除．

（2）解：∵m，n都为非负数，
∴mn≥0，
∴k-1≥0，
解得k≥1；
∵mn≤${（\frac{m+n}{2}）}^{2}$=${（\frac{4}{2}）}^{2}$=4，
∴k-1≤4，
解得k≤5，
∴1≤k≤5，
∴y=（m-n）²
=（m+n）²-4mn
=4²-4（k-1）
=20-4k
∵1≤k≤5，
∴4≤4k≤20，
∴0≤20-k≤16，
∴y存在最大值和最小值，最大值是16，最小值是0．

点评 此题主要考查了二次函数的最值的求法，以及完全平方公式的应用，要熟练掌握．