Question

13．阅读理解：在实数范围内，当a＞0且b＞0时，我们由非负数的性质知道（$\sqrt{a}$-$\sqrt{b}$）²≥0，所以a-2$\sqrt{ab}$+b≥0，即：a+b≥2$\sqrt{ab}$，当且仅当a=b时，等号成立，这就是数学上有名的“均值不等式”，若a与b的积为定值p（p＞0），则a+b有最小值2$\sqrt{p}$；若a与b的和为定值q（q＞0），则ab有最大值$\frac{{q}^{2}}{4}$，请根据上述内容，回答下列问题．
（1）若x＞0，则当x=2时，代数式2x+$\frac{8}{x}$取最小值8；
（2）已知：y₁与x-2成正比例函数关系，y₂与x+2成反比例函数关系，且y=y₁+y₂，当x=6时，y=9；当x=-1时，y=2，求当x＞-2时y的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据材料直接利用若a与b的积为定值p（p＞0），则a+b有最小值2$\sqrt{p}$计算即可；
（2）先用待定系数法求出y与x的函数关系式，再用“均值不等式”，即可得出结论．

解答 解：（1）
∵2x•$\frac{8}{x}$=16，
∴2x+$\frac{8}{x}$≥2$\sqrt{16}$=8，
此时2x=$\frac{8}{x}$，
∴x=2
故答案为：2，8；

（2）∵y₁与x-2成正比例函数关系，
∴设y₁=k（x-2），
∵y₂与x+2成反比例函数关系，
∴y₂=$\frac{k'}{x+2}$，
∴y=y₁+y₂=k（x-2）+$\frac{k'}{x+2}$，
∵当x=6时，y=9；当x=-1时，y=2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k（6-2）+\frac{k'}{6+2}=9}\\{k（-1-2）+\frac{k'}{-1+2}=2}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{k'=8}\end{array}\right.$
∴y=2（x-2）+$\frac{8}{x+2}$=2（x+2）+$\frac{8}{x+2}$-8，
∵x＞-2，
∴x+2＞0，
∴y=2（x+2）+$\frac{8}{x+2}$-8≥2$\sqrt{2（x+2）•\frac{8}{x+2}}$-8≥0，
此时2（x+2）=$\frac{8}{x+2}$，
∴x=-4（舍）或x=0，
即：y的最小值为0．

点评 此题主要考查了待定系数法，正比例函数的定义，反比例函数的定义，待定系数法，材料的理解和掌握，解本题的关键是理解材料提供的信息．