Question

如图，在?ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥DC于F，∠ADC=60°，BE=2，CF=1，连结DE交AF于点P，
（1）求ED的长；
（2）求证：△APD是等腰三角形．

Answer 1

考点：平行四边形的性质

专题：

分析：（1）由在?ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥DC于F，∠ADC=60°，BE=2，可求得AB，AE的长，继而求得DF与AD的长，然后由勾股定理求得ED的长；
（2）易求得∠ADE=∠DAF=30°，继而证得：△APD是等腰三角形．

解答：（1）解：∵在?ABCD中，∠ADC=60°，
∴∠B=∠ADC=60°，
∵AE⊥BC，AF⊥DC，
∴∠BAE=∠DAF=30°，
∴AB=2BE=2×2=4，
∴AE=

AB2-AE2

=2

3

，
∴CD=AB=4，
∵CF=1，
∴DF=CD-CF=3，
∵AE⊥BC，AD∥BC，
∴AE⊥AD，
∴AD=2DF=6，
∴ED=

AE2+AD2

=4

3

；

（2）∵∠EAD=90°，ED=4

3

，AE=2

3

，
∴ED=2AE，
∴∠ADE=30°，
∵∠DAF=30°，
∴∠ADE=∠DAF，
∴AP=DP，
即△APD是等腰三角形．

点评：此题考查了平行四边形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质以及含30°角的直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．