Question

19．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC=6，BD=8，且DE∥AC，AE∥BD．求OE的长．

Answer 1

分析 根据菱形的性质得出AC⊥BD，再根据平行四边形的判定定理得四边形AODE为平行四边形，由矩形的判定定理得出四边形AODE是矩形，则该矩形的对角线相等，即AD=OE．

解答 证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，OA=$\frac{1}{2}$AC=3，OD=$\frac{1}{2}$BD=4，
∴∠AOD=90°，
∴AD=$\sqrt{O{A}^{2}+O{D}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5．
∵DE∥AC，AE∥BD，
∴四边形AODE为平行四边形，
∴四边形AODE是矩形，
∴OE=AD=5．

点评 本题考查了矩形的判定以及菱形的性质，还考查了平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．