Question

4．如图所示，在平面直角坐标系中，过点A（-$\sqrt{3}$，0）的两条直线分别交y轴于B、C两点，且B、C两点的纵坐标分别是一元二次方程x²-2x-3=0的两个根．
（1）求线段BC的长度；
（2）试问：直线AC与直线AB是否垂直？请说明理由；
（3）若点D在直线AC上，且DB=DC，求点D的坐标．

Answer 1

分析 （1）解方程可求得B、C两点的坐标，则可求得BC的长；
（2）利用A、B、C的坐标，求得OA、OB、OC的长，则可证得△AOC∽△BOA，则可求得∠BAC=90°，可证得结论；
（3）由A、C的坐标，利用待定系数法可求得直线AC的解析式，结合条件可知点D在线段BC的垂直平分线上，则可求得D点坐标．

解答 解：
（1）∵x²-2x-3=0，
∴x=3或x=-1，
∴B（0，3），C（0，-1），
∴BC=4；
（2）垂直，理由如下：
∵A（-$\sqrt{3}$，0），B（0，3），C（0，-1），
∴OA=$\sqrt{3}$，OB=3，OC=1，
∴OA²=OB•OC，
∵∠AOC=∠BOA=90°，
∴△AOC∽△BOA，
∴∠CAO=∠ABO，
∴∠CAO+∠BAO=∠ABO+∠BAO=90°，
∴∠BAC=90°，
∴AC⊥AB；
（3）设直线AC的解析式为y=kx+b，
把A（-$\sqrt{3}$，0）和C（0，-1）代入y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1=b}\\{0=-\sqrt{3}k+b}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
∴直线AC的解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-1，
∵DB=DC，
∴点D在线段BC的垂直平分线上，
∴D的纵坐标为1，
∴把y=1代入y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-1，
∴x=-2$\sqrt{3}$，
∴D的坐标为（-2$\sqrt{3}$，1）．

点评 本题为一次函数的综合应用，涉及一元二次方程、相似三角形的判定和性质、待定系数法、线段垂直平分线的性质等知识．在（1）中求得B、C的坐标即可，在（2）中证得△AOC∽△BOA是解题的关键，在（3）中确定出D点的纵坐标是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．