Question

8．已知⊙O的半径为r，其内接正六边形，正四边形，正三角形的边长分别为a，b，c，则a：b：c的值为（　　）

• A． 1：2：3
• B． 3：2：1
• C． 1：$\sqrt{2}$：$\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{3}$：$\sqrt{2}$：1

Answer 1

分析 根据题意画出图形，再由正多边形的性质及直角三角形的性质求解即可．

解答 解：如图1所示，
在正三角形ABC中，连接OB，过O作OD⊥BC于D，
则∠OBC=30°，BD=OB•cos30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$r，
故a=BC=2BD=$\sqrt{3}$r；
如图2所示，
在正方形ABCD中，连接OB、OC，过O作OE⊥BC于E，
则△OBE是等腰直角三角形，
2BE²=OB²，即BE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$r，
故b=BC=$\sqrt{2}$r；
如图3所示，
在正六边形ABCDEF中，连接OA、OB，过O作OG⊥AB，则△OAB是等边三角形，
故AG=OA•cos60°=$\frac{1}{2}$r，
c=AB=2AG=r，
∴圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比$\sqrt{3}$r：$\sqrt{2}$r：r=$\sqrt{3}$：$\sqrt{2}$：1．
故选：C．

点评 本题考查的是圆内接正三角形、正方形及正六边形的性质；根据题意画出图形，作出辅助线构造出直角三角形是解答此题的关键．