Question

20．如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，延长CB至点F，使CF=CA，∠ACF的平分线分别交AF、AB、BD于点E、N、M，连接EO．
（1）已知BD=$\sqrt{2}$，求正方形ABCD的边长；
（2）猜想线段EM与CN的数量关系并加以证明．

Answer 1

分析 （1）利用正方形的性质和勾股定理计算即可；
（2）连接FN，根据等腰三角形三线合一的性质证得CE⊥AF，进一步得出∠BAF=∠BCN，然后通过证得△ABF≌△CBN得出BF=BN，进而证得△CFN∽△EOM，根据相似三角形的性质，可得EM与CN的数量关系．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴2AB²=BD²，
∵BD=$\sqrt{2}$，
∴AB=1，
∴正方形ABCD的边长为1；

（2）EM=$\frac{1}{2}$CN．理由如下：
连接FN，
∵CF=CA，CE是∠ACF的平分线，
∴CE⊥AF，
∴∠AEN=∠CBN=90°，
∵∠ANE=∠CNB，
∴∠BAF=∠BCN，
在△ABF和△CBN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAF=∠BCN}\\{∠ABF=∠CBN=90°}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△CBN（AAS），
∴BF=BN，
∴∠CBN=∠FNB=45°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DBC=45°，
∵EO∥BC，
∴∠EOM=∠DBC=45°，∠OEM=∠FCN，
∴∠CFN=∠EOM，
∴△CFN∽△EOM，
∴$\frac{EM}{CN}=\frac{EO}{CF}$，
即$\frac{EM}{CN}=\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}$．
∴EM=$\frac{1}{2}$CN．

点评 本题考查了正方形的性质，勾股定理的应用，等腰三角形三线合一的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．