Question

19．（1）阅读理解：
如图①，在△ABC中，若AB=10，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围．
解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E，使DE=AD，再连接BE（或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断．
（2）问题解决：
如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连结EF．请判断BE+CF与EF的大小关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）延长AD到E，使AD=DE，连接BE，证△ADC≌△EDB，推出EB=AC，根据三角形的三边关系求出即可；
（2）先利用ASA判定△BGD≌△CFD，从而得出BG=CF；再利用全等的性质可得GD=FD，再有DE⊥GF，从而得出EG=EF，两边和大于第三边从而得出BE+CF＞EF．

解答 解：（1）解：延长AD到E，使AD=DE，连接BE，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，
在△ADC与△EDB中，$\left\{\begin{array}{l}{BD=CD}\\{∠ADC=∠BDE}\\{AD=DE}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴EB=AC，
根据三角形的三边关系得：AB-AC＜AE＜AC+AB，
∴4＜AE＜16，
∵AE=2AD
∴2＜AD＜8，
即：BC边上的中线AD的取值范围2＜AD＜8；

（2）BE+CF＞EF．
理由：如图②，

过点B作BG∥AC交FD的延长线于G，
∴∠DBG=∠DCF．
∵D为BC的中点，
∴BD=CD
又∵∠BDG=∠CDF，
在△BGD与△CFD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DBG=∠DCF}\\{BD=CD}\\{∠BDG=∠CDF}\end{array}\right.$
∴△BGD≌△CFD（ASA）．
∴GD=FD，BG=CF．
又∵DE⊥DF，
∴EG=EF（垂直平分线到线段端点的距离相等）．
∴在△EBG中，BE+BG＞EG，
即BE+CF＞EF．

点评 此题是三角形综合题，主要考查对全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系定理等知识点的理解和掌握，能推出4＜2AD＜16是解（1）的关键，判断出△BGD≌△CFD是解（2）的关键，解此类题目的关键是构造全等三角形．