题目内容
已知，在正方形ABCD中，点E为BC边中点，点F在CD边上，且CF=
CD．求∠EAF的正弦值和正切值．
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考点：正方形的性质,解直角三角形
专题：
分析：根据正方形的性质得出AB=BC=CD，∠B=∠C=90°，再根据已知条件得出
=
=
，能证明△ECF∽△ABE；根据△ECF∽△ABE，则∠FEC=∠BAE，且
=
=
，再证明△AEF∽△ABE，则∠EAF=∠BAE，即可求得∠EAF的正弦值和正切值．
| FC |
| EC |
| BE |
| AB |
| 1 |
| 2 |
| EF |
| AE |
| EC |
| AB |
| BE |
| AB |
解答：解答：证明：由正方形ABCD得AB=BC=CD，∠B=∠C=90°，
∵E为BC中点，
∴BE=EC=
AB，
∵FC=
CD，
∴FC=
AB，
∴
=
=
，
在△ECF和△ABE中，
∵
=
且∠B=∠C
∴△ECF∽△ABE，
∴∠FEC=∠BAE，且
=
=
，
在△ABE中，∵∠B=90°，
∴∠BEA+∠BAE=90°∴∠FEC+∠BEA=90°，
∴∠AEF=90°，
∴∠AEF=∠B
又∵
=
，
，∴△AEF∽△ABE，
∴∠EAF=∠BAE，
∵AB2+BE2=AE2，
∴（2BE）2+BE2=AE2，
∴AE=
BE，
∴sin∠EAF=sin∠BAE=
=
=
，tan∠EAF=tan∠BAE=
=
，
即sin∠EAF=
，tan∠EAF=
．
∵E为BC中点，
∴BE=EC=
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∵FC=
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∴FC=
| 1 |
| 4 |
∴
| FC |
| EC |
| BE |
| AB |
| 1 |
| 2 |
在△ECF和△ABE中，
∵
| FC |
| EC |
| BE |
| AB |
∴△ECF∽△ABE，
∴∠FEC=∠BAE，且
| EF |
| AE |
| EC |
| AB |
| BE |
| AB |
在△ABE中，∵∠B=90°，
∴∠BEA+∠BAE=90°∴∠FEC+∠BEA=90°，
∴∠AEF=90°，
∴∠AEF=∠B
又∵
| EF |
| AE |
| BE |
| AB |
，∴△AEF∽△ABE，
∴∠EAF=∠BAE，
∵AB2+BE2=AE2，
∴（2BE）2+BE2=AE2，
∴AE=
| 5 |
∴sin∠EAF=sin∠BAE=
| BE |
| AE |
| BE | ||
|
| ||
| 5 |
| BE |
| AB |
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| 2 |
即sin∠EAF=
| ||
| 5 |
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点评：本题考查了相似三角形的判定和性质以及正方形的性质，是综合题难度偏大．
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