Question

5．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E．
（1）求证：BE=CE；
（2）若AB=6，∠BAC=54°，求$\widehat{AD}$的长．

Answer 1

分析 （1）如图，连接AE，利用圆周角定理推知AE是等腰△ABC的垂线，结合等腰三角形的性质证得结论；
（2）如图，连接OD，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理可以求得圆心角∠AOD的度数，然后利用弧长公式进行解答．

解答 （1）证明：如图，连接AE．
∵AB是圆O的直径，
∴∠AEB=90°，
即AE⊥BC．
又∵AB=AC，
∴AE是边BC上的中线，
∴BE=CE；

（2）解：∵AB=6，
∴OA=3．
又∵OA=OD，∠BAC=54°，
∴∠AOD=180°-2×54°=72°，
∴$\widehat{AD}$的长为：$\frac{72×π×3}{180}$=$\frac{6π}{5}$．

点评 本题考查了圆周角定理、弧长的计算以及等腰三角形的判定与性质．通过作辅助线，利用圆周角定理（或圆半径相等）的性质求得相关角的度数是解题的难点．