Question

16．已知：如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，连接BE、BD，过点A作AF⊥BE交BE于点F，连接FD．
（1）求证：△EAF∽△EBA；
（2）若AB=6，BC=8．求DF的长．

Answer 1

分析 （1）根据两角对应相等的两个三角形全等即可证明．
（2）作FM⊥AD于M，先利用勾股定理求出BE，利用$\frac{1}{2}$•AB•AE=$\frac{1}{2}$•BE•AF，求出AF，再利用勾股定理求出EF，根据$\frac{1}{2}$•AF•EF=$\frac{1}{2}$•AE•FM，求出FM，利用勾股定理求出AM，由此即可解决问题．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，
∵AF⊥BE，
∴∠AFE=∠EAB=90°，
∵∠AEF=∠AEB，
∴△EAF∽△EBA．
（2）解：作FM⊥AD于M，
∵AB=6，AD=8，AE=ED，
∴AE=ED=4，
在RT△ABE中，BE=$\sqrt{A{B}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{13}$，
∵$\frac{1}{2}$•AB•AE=$\frac{1}{2}$•BE•AF，
∴AF=$\frac{12\sqrt{13}}{13}$，
∴EF=$\sqrt{A{E}^{2}-A{F}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-（\frac{12\sqrt{13}}{13}）^{2}}$=$\frac{8\sqrt{13}}{13}$．
∵$\frac{1}{2}$•AF•EF=$\frac{1}{2}$•AE•FM，
∴FM=$\frac{24}{13}$，AM=$\sqrt{A{F}^{2}-F{M}^{2}}$=$\frac{36}{13}$，
∴DM=AD-AM=$\frac{68}{13}$，
∴DF=$\sqrt{F{M}^{2}+D{M}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{24}{13}）^{2}+（\frac{68}{13}）^{2}}$=$\frac{20\sqrt{13}}{13}$．

点评 本题考查相似三角形的性质和判定、勾股定理、矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用面积法求高，属于中考常考题型．