Question

9．已知二次函数y=$\frac{1}{2}$x²-（m-2）x+$\frac{m}{2}$的图象经过（-1，6），
（1）求m的值并在平面直角坐标系中画出该二次函数的图象；
（2）设此二次函数的图象与x 轴的交点为A、B（A在B右边），与y轴交于点C，P在抛物线的对称轴上，当∠APC=90°时，求P点的坐标．

Answer 1

分析 （1）将点（-1，6）代入抛物线中即可求出m的值，也就得出了抛物线的解析式．
（2）根据解析式求得A、C的坐标以及对称轴，然后设P（3，n），根据题意得出$\frac{5-3}{\frac{5}{2}-n}$=$\frac{-n}{3}$，即可求得P的坐标．

解答 解：（1）∵二次函数y=$\frac{1}{2}$x²-（m-2）x+$\frac{m}{2}$的图象经过（-1，6），
∴6=$\frac{1}{2}$+（m-2）+$\frac{m}{2}$，
∴m=5，
∴y=$\frac{1}{2}$x²-3x+$\frac{5}{2}$，
（2）令y=0，则$\frac{1}{2}$x²-3x+$\frac{5}{2}$=0，
解得x₁=1，x₂=5，
∴A（5，0），B（1，0），
令x=0，则y=$\frac{5}{2}$，
∴C（0，$\frac{5}{2}$），
∵y=$\frac{1}{2}$x²-3x+$\frac{5}{2}$，
∴对称轴x=3，
∵P在抛物线的对称轴上，
设P（3，n），
当∠APC=90°时，
∴$\frac{5-3}{\frac{5}{2}-n}$=$\frac{-n}{3}$
解得n=-$\frac{3}{2}$或n=4，
∴P（3，-$\frac{3}{2}$）或（3，4）．

点评 本题考查了二次函数的性质、三角形相似的判定和性质．利用已知进行分类讨论得出符合要求点的坐标是解题关键．