Question

如图，已知⊙O的直径AB垂直于弦CD于E，连结AD，BD，OC，OD，且OD=5．
（1）若sin∠BAD=

3

5

（

BD

AB

=

3

5

），求CD的长；
（2）若∠ADO：∠EDO=4：1，求扇形OAC（阴影部分）的面积（结果精确到0.1）

Answer 1

考点：垂径定理,勾股定理,扇形面积的计算

专题：

分析：（1）先求出AD的长，再根据sin∠BAD=

3

5

（

BD

AB

=

3

5

）求出BD的长，设OE=x，则BE=5-x，由勾股定理求出x的值，进而可得出DE的长，由此得出结论；
（2））由∠ADO：∠EDO=4：1可设∠ADO=4x，∠EDO=x，根据OA=OD可知∠OAD=∠ODA=4x，再由AB⊥CD可知4x+4x+x=90°，解得x=10°，由此可得出∠AOC的度数，由扇形的面积公式即可得出结论．

解答：解：（1）∵OD=5，
∴AB=10
∴

BD

AB

=

BD

10

=

3

5

，
∴BD=6．
设OE=x，则BE=5-x，由勾股定理得：BD²-BE²=DO²-OE²
即6²-（5-x）²=5²-x²，解得x=

7

5

，
∴DE=

24

5

，
∴CD=2DE=

48

5

；

（2）∵∠ADO：∠EDO=4：1，
∴设∠ADO=4x，∠EDO=x．
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA=4x．
∵AB⊥CD，
∴4x+4x+x=90°，解得x=10°，
∴∠ADE=50°，∠AOC=100°                      
∴S_{扇形OAC（阴影部分）}=

100π×52

360

=

125

18

π≈21.8．

点评：本题考查的是垂径定理及勾股定理，熟知平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．