Question

4．阅读下面材料：
      小明观察一个由1×1正方形点阵组成的点阵图，图中水平与竖直方向上任意两个相邻点间的距离都是1，他发现一个有趣的问题：对于图中出现的任意两条端点在点阵上且互相不垂直的线段，都可以在点阵中找到一点构造垂直，进而求出它们相交所成锐角的正切值．
请解决：
（1）如图1，A，B，C是点阵中的三个点，请在点阵中找到点D，连结线段CD，使得CD⊥AB；
（2）如图2，线段AB与CD交于点O．为了求出∠AOD的正切值，小明在点阵中找到了点E，连接AE，恰好满足AE⊥CD于点F，再作出点阵中的其它线段，就可以构造相似三角形，经过推理和计算能够使问题得到解决．
请你帮小明写出计算OC和tan∠AOD的过程；
（3）如图3，计算：tan∠AOD=$\frac{7}{4}$．（直接写出计算结果）

Answer 1

分析 （1）根据全等三角形的性质可得线段CD即为所求．
（2）如图2中，构造Rt△AOF，根据tan∠AOD=$\frac{AF}{OF}$，想办法求出AF、OF即可解决问题．
（3）如图3中，构造Rt△AOF中，根据tan∠AOF=$\frac{AF}{OF}$，求出AF、OF即可．

解答 解：（1）如图1中，线段CD即为所求．


（2）如图2中，

在Rt△ADE中，∵AD=DE=2，∠ADE=90°，
∴AE=$\sqrt{2}$AD=2$\sqrt{2}$，
∵CD⊥AE，
∴DF=AF=$\sqrt{2}$，
∵AC∥BD，
∴△ACO∽△DBO，
∴$\frac{CO}{DO}$=$\frac{2}{3}$，
∴CO=$\frac{2}{5}$CD=$\frac{2}{5}$×$2\sqrt{2}$=$\frac{4\sqrt{2}}{5}$，
∴DO=$\frac{6\sqrt{2}}{5}$，
∴OF=$\frac{6\sqrt{2}}{5}$-$\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{5}$，
∴在Rt△AOF中，tan∠AOD=$\frac{AF}{FO}$=$\frac{\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{5}}$=5．


（3）如图3中，

易知AF=$\sqrt{5}$，EF=2$\sqrt{5}$，
由△BOF∽△AOE，得到$\frac{BF}{AE}$=$\frac{OF}{OE}$=$\frac{2}{5}$，
∴OF=$\frac{2}{7}$EF=$\frac{4\sqrt{5}}{7}$，
在Rt△AOF中，tan∠AOF=$\frac{AF}{OF}$=$\frac{\sqrt{5}}{\frac{4\sqrt{5}}{7}}$=$\frac{7}{4}$．
故答案为$\frac{7}{4}$．

点评 本题考查相似三角形的应用，全等三角形的应用、勾股定理、锐角三角函数、平行线的性质等知识，解题的关键是构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．