Question

7．如图，抛物线y=$\frac{1}{2}$x²+bx-2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（-1，0）．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；
（3）点M是抛物线对称轴上的一个动点，当△ACM的周长最小时，求点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法，可得函数解析式，根据配方法，可得顶点坐标；
（2）根据勾股定理的逆定理，可得答案；
（3）根据轴对称的性质，两点之间线段最短，可得M点是对称轴与BC的交点，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．

解答 解：（1）∵点A（-1，0）在抛物线y=x²+bx-2上，
∴$\frac{1}{2}$×（-1）²+b×（-1）-2=0，
解得 b=-$\frac{3}{2}$，
∴抛物线的解析式为y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2．
∵y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2=$\frac{1}{2}$（x-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{25}{8}$，
∴顶点D的坐标为（$\frac{3}{2}$，-$\frac{25}{8}$）；
（2）△ABC是直角三角形．理由如下：
当x=0时，y=-2，
∴C（0，-2），则OC=2．
当y=0时，$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2=0，
∴x₁=-1，x₂=4，则B（4，0），
∴OA=1，OB=4，
∴AB=5．
∵AB²=25，AC²=OA²+OC²=5，BC²=OC²+OB²=20，
∴AC²+BC²=AB²，
∴△ABC是直角三角形；
（3）由题意A、B两点关于对称轴对称，故直线BC与对称轴的交点即为点M．
由B（4，0），C（0，-2）
设直线BC：y=kx-2
4k-2=0，
k=$\frac{1}{2}$．
所以直线BC：y=$\frac{1}{2}$x-2．
当x=$\frac{3}{2}$时，y=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$-2=-$\frac{5}{4}$．
所以M（$\frac{3}{2}$，-$\frac{5}{4}$）．

点评 本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式；利用勾股定理的逆定理判定三角形的形状；利用轴对称的性质得出M是BC与对称轴的交点是解题关键．