Question

8．观察下列内容：
$\frac{1}{1×2}$=1-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{4×5}$=$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{5}$…$\frac{1}{n×（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．
请完成下面的问题：
如果有理数a，b满足|ab-2|+（1-b）²=0．
试求$\frac{1}{ab}$+$\frac{1}{（a+1）（b+1）}$+$\frac{1}{（a+2）（b+2）}$+…+$\frac{1}{（a+2016）（b+2016）}$的值．

Answer 1

分析 先求出a、b值，然后利用题目所提示的方法对原式进行化简，最后代入数据即可求出答案．

解答 解：由题意可知：ab-2=0，1-b=0，
∴a=2，b=1，
设n为整数，
∴1=（a+n）-（b+n）
∴原式=$\frac{a-b}{ab}$+$\frac{（a+1）-（b+1）}{（a+1）（b+1）}$+$\frac{（a+2）-（b+2）}{（a+2）（b+2）}$+…+$\frac{（a+2016）-（b+2016）}{（a+2016）（b+2016）}$
=（$\frac{1}{b}-\frac{1}{a}$）+（$\frac{1}{b+1}$-$\frac{1}{a+1}$）+（$\frac{1}{b+2}$-$\frac{1}{a+2}$）+…+（$\frac{1}{b+2016}$-$\frac{1}{a+2016}$）
=（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$）+…+（$\frac{1}{2017}$-$\frac{1}{2018}$）
=1-$\frac{1}{2018}$
=$\frac{2017}{2018}$

点评 本题考查代数式求值问题，涉及拆项技巧，属于中等题型．