Question

20．已知抛物线C₁：y=-x²+4x-3，把抛物线C₁先向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到抛物线C₂，将抛物线C₁和抛物线C₂这两个图象在x轴及其上方的部分记作图象M．若直线y=kx+$\frac{1}{2}$（k≥0）与图象M至少有2个不同的交点，则k的取值范围是0≤k＜10-$\sqrt{86}$．

Answer 1

分析 首先配方得出二次函数顶点式，求得抛物线C₁的顶点坐标，进而利用二次函数平移规律得出抛物线C₂，求得直线与两个抛物线相切时的k的值，即可解决问题．

解答 解：y=-x²+4x-3
=-（x-2）²+1，
∴顶点（2，1）
则将抛物线y=-x²+4x-3先向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度，
得到的新的抛物线的解析式为：y=-（x-5）²+4=-x²+10x-21．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+\frac{1}{2}}\\{y=-{x}^{2}+4x-3}\end{array}\right.$消去y得到x²+（k-4）x+$\frac{7}{2}$=0，
由题意△=0，（k-4）²-14=0，
解得k=4-$\sqrt{14}$或4+$\sqrt{14}$（舍弃），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+\frac{1}{2}}\\{y=-{x}^{2}+10x-21}\end{array}\right.$消去y得到x²+（k-10）x+$\frac{43}{2}$=0，
由题意△=0，（k-10）²-86=0，
∴k=10-$\sqrt{86}$或10+$\sqrt{86}$（舍弃），
∵直线y=kx+$\frac{1}{2}$（k≥0）与图象M至少有2个不同的交点，
观察图象可知，则k的取值范围是0≤k＜10-$\sqrt{86}$

点评 此题主要考查了二次函数的图象与几何变换，二元二次方程组，一元二次方程的根的判别式，构建方程组，利用一元二次方程的根的判别式是解题的关键．