Question

14．阅读材料：如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为$\frac{1}{2}$的矩形（长方形），按着把面积为$\frac{1}{2}$的矩形等分成两个面积为$\frac{1}{4}$的矩形，再把面积为$\frac{1}{4}$的矩形等分成两个面积为$\frac{1}{8}$ 的矩形，如此进行下去．我们可以利用图形展示的规律将累加式进行化简：$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+A+\frac{1}{{2}^{n}}$．
例如：由于$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\frac{1}{32}=1$，所以$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}=1-\frac{1}{32}$．
完成解答：
①类比上面推理将累加式$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+A+\frac{1}{{2}^{n}}$化简为1-$\frac{1}{{2}^{n}}$；
②利用上面的解题方法化简累加式1+2+2²+2³+2⁴+A+2ⁿ=2ⁿ⁺¹-1；
③化简累加式：$\frac{5}{2}+\frac{17}{4}+\frac{65}{8}+\frac{257}{16}+…+\frac{（2n）^{2}+1}{{{2}^{n}}_{\;}}$=2ⁿ⁺¹-1-$\frac{1}{{2}^{n}}$．

Answer 1

分析 ①由$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}=1-\frac{1}{32}$类比得出答案即可；
②设S=1+2+2²+2³+2⁴+A+2ⁿ，则2S=2+2²+2³+2⁴+A+2ⁿ⁺¹，把两个式子作差，进一步求得S的数值得出答案即可；
③由①②计算的规律，把原式拆分，进一步计算得出答案即可．

解答 解：①$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+A+\frac{1}{{2}^{n}}$
=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$．
②S=1+2+2²+2³+2⁴+A+2ⁿ，
2S=2+2²+2³+2⁴+A+2ⁿ⁺¹，
2S-S=2ⁿ⁺¹-1，S=2ⁿ⁺¹-1，
即1+2+2²+2³+2⁴+A+2ⁿ=2ⁿ⁺¹-1．
③原式=2+4+8+…+2ⁿ+$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+A+\frac{1}{{2}^{n}}$化
=2ⁿ⁺¹-2+1-$\frac{1}{{2}^{n}}$．
=2ⁿ⁺¹-1-$\frac{1}{{2}^{n}}$．
故答案为：1-$\frac{1}{{2}^{n}}$；2ⁿ⁺¹-1；2ⁿ⁺¹-1-$\frac{1}{{2}^{n}}$．

点评 此题考查图形的变化规律，找出数字之间的运算规律，利用数字之间的运算规律解决问题．