Question

19．如图，⊙O的圆心O在坐标原点，直径AB=8，点P是直径AB上的一个动点（点P不与A、B两点重合），过点P的直线PQ的解析式为y=x+m，当直线PQ交y轴于Q，交⊙O于C、D两点时，过点C作CE垂直于x轴交⊙O于点E，过点E作EG垂直于y轴，垂足为G，过点C作CF垂直于y轴，垂足为F，连接DE．
（1）点P在运动过程中，圆周角∠PCE=45°，其所对的弦DE的长不变（“变化”或“不变”）；
（2）当m=3时，试求矩形CEGF的面积；
（3）当P在运动过程中，探索PD²+PC²是否会发生变化？如果发生变化，请你说明理由；如果不发生变化，请你求出这个不变的值；
（4）当△PDE的面积为4时，求CD的长度．

Answer 1

分析 （1）利用图象与x，y轴交点坐标得出QO=PO，从而得出∠PCE的度数；
（2）利用勾股定理求出CF，FO的长度，求出矩形CEGF的面积即可；
（3）根据PC²+PD²=PD²+PE²=DE²，得出即可；
（4）分别从当点P在直径AB上时，以及当点P在线段AB的延长线上时得出CD与CM的长度关系，进而求出即可．

解答 解：（1）∵过点P的直线PQ的解析式为y=x+m，
∴图象与x轴交点坐标的为：（-m，0），图象与y轴交点坐标的为：（0，m），
∴QO=PO，∠POQ=90°，
∴∠CPB=45°，
∵CE∥y轴，
∴∠PCE=∠CPB=45°，
∵无论点P怎么移动，∠PCE都等于45°，
∴其所对的弦DE的长不变；

（2）∵∠CPB=45°，
∴∠CQF=∠PQO=45°，
∴FC=FQ，
设FC=FQ=a，
则OF=a+3，
如图1，连接OC，
在Rt△OCF中，FC²+OF²=OC²⇒a²+（a+3）²=4²⇒2a²+6a=7，
∴S_{四边形CEGF}=CF×2FO=a×2（a+3）=7；

（3）不变．
∵AB垂直平分CE，
∴PC=PE，且∠CPB=∠EPH=45°，
∴PE⊥CD，
∴PD²+PC²=PD²+PE²=DE²，
∵∠PCH=45°，
∴$\widehat{DE}$=90°，
∴DO⊥EO，
∴DE=$\sqrt{2}$OD=4$\sqrt{2}$，
∴PD²+PC²=32；

（4）当点P在直径AB上时，S_△PDE=$\frac{1}{2}$PD×PE=$\frac{1}{2}$PD×PC=4，PD×PC=8，
又∵PD²+PC²=32，
∴CD²=（PD+PC）²=32+16=48，CD=4$\sqrt{3}$，
如图2，当点P在AB延长线上，
同理可得：CD²=（PC-PD）²=32-16=16，
开方得：CD=4．
综上，CD的长为$\sqrt{3}$或4．

点评 此题主要考查了圆的综合题，三角形的面积以及平方差公式应用以及一次函数的综合应用，要注意的是（4）中，要根据P点的不同位置进行分类求解．