Question

已知抛物线C₁：y=-2x²-2x+1，抛物线C₂：y=2x²-2x-1，若两抛物线关于原点对称称为“同胞”抛物线．
（1）试判断C₁与C₂是否为“同胞”抛物线；
（2）已知抛物线C₁：y=-

1

2

x²-x+

3

2

其顶点为A，抛物线C₂向左平移1个单位后正好与抛物线C₁成“同胞”抛物线，求抛物线C₂的表达式．

Answer 1

考点：二次函数图象与几何变换

专题：计算题

分析：（1）设点（a，b）为抛物线C₁上的点，则根据二次函数图象点的坐标特征得到b=-2a²-2a+1，然后判断点（-a，-b）是否在抛物线C₂上，若在，则可判断断C₁与C₂为“同胞”抛物线；
（2）先把y=-

1

2

x²-x+

3

2

配成顶点式得到顶点A的坐标为（-1，2），再写出点A关于原点对称的点的坐标（1，-2），根据“同胞”抛物线的定义得到C₁的“同胞”抛物线解析式为y=

1

2

（x+1）²+2，然后根据抛物线的平移求抛物线C₂的解析式．

解答：解：（1）设点（a，b）为抛物线C₁上的点，则b=-2a²-2a+1，
当x=-a时，y=2x²-2x-1=2a²+2a-1=-（-2a²-2a+1）=-b，所以点（-a，-b）在抛物线C₂上，
所以C₁与C₂为“同胞”抛物线；
（2）y=-

1

2

x²-x+

3

2

=-

1

2

（x+1）²+2，则顶点A的坐标为（-1，2），
点A关于原点对称的点的坐标为（1，-2），
所以C₁的“同胞”抛物线解析式为y=

1

2

（x+1）²+2，
把抛物线y=

1

2

（x+1）²+2向右平移1个单位后得到抛物线C₂，
所以抛物线C₂的解析式为y=

1

2

x²+2．

点评：本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．