Question

9．如图，正方形ABCD中，E是CD中点，$FC=\frac{1}{4}BC$，则tan∠EAF=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由正方形的性质得出AB=BC=CD=AD，∠B=∠C=∠D=90°，设FC=x，则AB=BC=CD=AD=4x，BF=3x，求出DE=CE=2x，由勾股定理求出AF、EF、AE，由勾股定理的逆定理证明△AEF是直角三角形，∠AEF=90°，tan∠EAF=$\frac{EF}{AE}$，即可得出结果．

解答 解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠C=∠D=90°，
设FC=x，则AB=BC=CD=AD=4x，BF=3x，
∵E是CD中点，
∴DE=CE=2x，
∴AF=$\sqrt{A{B}^{2}+B{F}^{2}}$=5x，EF=$\sqrt{C{E}^{2}+C{F}^{2}}$=$\sqrt{5}$x，AE=$\sqrt{A{D}^{2}+D{E}^{2}}$=2$\sqrt{5}$x，
∵AE²+EF²=25x²，AF²=25x²，
∴AE²+EF²=AF²，
∴△AEF是直角三角形，∠AEF=90°，
∴tan∠EAF=$\frac{EF}{AE}$=$\frac{\sqrt{5}x}{2\sqrt{5}x}=\frac{1}{2}$；
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了正方形的性质、勾股定理、勾股定理的逆定理、三角函数；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．