题目内容
19．如图，抛物线y=x2-2x-3与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点．（1）求直线BC的函数表达式；
（2）如图1，D为y轴负半轴上的一点，且OD=2，以OD为边作正方形ODEF．将正方形ODEF以每秒1个单位的速度沿x轴的正方向移动，在运动过程中，设正方形ODEF与△OBC重叠部分的面积为s，运动的时间为t秒（0＜t≤2）．求：①s与t之间的函数关系式； ②在运动过程中，s是否存在最大值？如果存在，直接写出这个最大值；如果不存在，说明理由．
（3）如图2，点P（1，k）在直线BC上，点M在x轴上，点N在抛物线上，是否存在以A、M、N、P为顶点的平行四边形？若存在，直接写出M点坐标；若不存在，请说明理由．
分析 （1）先求出BC两点的坐标，再利用待定系数法求出直线BC的解析式即可；
（2）①当正方形ODEF的顶点D运动到直线BC上时，设D点的坐标为（m，-2），根据点D在直线BC上求出m的值，再分0＜t≤1与1＜t≤2两种情况进行讨论；
②根据①中S与t的表达式即可得出结论；
（3）先求出P点坐标，设M（x，0），N（a，a2-2a+3），分AP为平行四边形的对角线与AM为平行四边形的对角线两种情况进行讨论．
解答 
解：（1）∵令y=0，则x2-2x-3=0，解得x1=-1，x2=3，
∴B（3，0）．
∵令x=0，则y=-3，
∴C（0，-3）．
设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），则$\left\{\begin{array}{l}0=3k+b\\ b=-3\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}k=1\\ b=-3\end{array}\right.$．
∴直线BC的函数表达式为y=x-3；
（2）当正方形ODEF的顶点D运动到直线BC上时，
设D点的坐标为（m，-2），
根据题意得：-2=m-3，
∴m=1．
①当0＜t≤1时，S1=2t；
当1＜t≤2时，如图，O1（t，0），D1（t，-2），G（t，t-3），H（1，-2），
∴GD1=t-1，HD1=t-1．
∴S=S矩形DD1O1O-S△D1HG=2t-$\frac{1}{2}$（t-1）2=-$\frac{1}{2}$t2+3t-$\frac{1}{2}$．
∴s与t之间的函数关系式为S=$\left\{\begin{array}{l}2t（0＜t≤1）\\-\frac{1}{2}{t}^{2}+3t-\frac{1}{2}（1＜t≤2）\end{array}\right.$；
②在运动过程中，s是存在最大值：当t=2秒时，S有最大值，最大值为$\frac{7}{2}$．
（3）存在．
∵点P（1，k）在直线BC上，
∴P（1，-2）．
∵抛物线y=x2-2x-3与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，
∴A（-1，0）．
设M（x，0），N（a，a2-2a+3），
当AP为平行四边形的对角线时，a+x=0，a2-2a+3=-2，解得x=-$\sqrt{2}$-1或x=$\sqrt{2}$-1，
∴M1（-$\sqrt{2}$-1，0），M2（$\sqrt{2}$-1，0）；
当AM为平行四边形的对角线时，-1+x=a+1，a2-2a-3-2=0，解得x=3-$\sqrt{6}$或x=3+$\sqrt{6}$，
∴M3（3-$\sqrt{6}$，0），M4（3+$\sqrt{6}$，0）．
综上所述，M1（-$\sqrt{2}$-1，0），M2（$\sqrt{2}$-1，0），M3（3-$\sqrt{6}$，0），M4（3+$\sqrt{6}$，0）．
点评 本题考查的是二次函数综合题，涉及到二次函数的最值及用待定系数法求一次函数的解析式等知识，在解答此题时要注意分类讨论思想的应用．
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已知如图，AB是圆O的直径，D是AB延长线上一点，DC是圆O的切线，C是切点，连结AC．若CD=6，BD=4，则⊙O半径为$\frac{5}{2}$．
如图，抛物线y=（m-1）x2+（5-5m）x+4经过△ABC的三个顶点，点A在x轴上，点C在y轴上，B与C是抛物线的对称点，AB平分∠CAO．
如图，正方形ABCD中，E是CD中点，$FC=\frac{1}{4}BC$，则tan∠EAF=$\frac{1}{2}$．