Question

8．如图，在?ABCD中，点E在线段AC上，BE=DE，∠1=∠2．
（1）若∠3=70°，求∠2度数；
（2）若AB=2BE-1，tan∠3=3tan∠1，求BE的长度．

Answer 1

分析 （1）由平行四边形和已知条件得出∠1=∠4，证出DE=CE，由三角形的外角性质求出∠2=35°即可；
（2）连接BD，交AC于O，由平行四边形的性质得出OB=OD，CD=AB=2BE-1，由等腰三角形的性质得出BD⊥AC，由tan∠3=3tan∠1=3tan∠4得出OC=3OE，因此DE=CE=2OE，求出∠ODE=30°，得出OD=$\sqrt{3}$OE，∠3=60°，∠4=30°，由含30°角的直角三角形的性质得出CD=2OD，设BE=DE=CE=x，则OD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，CD=2x-1，得出方程，解方程即可．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠2=∠4，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠4，
∴DE=CE，
∵∠3=∠1+∠4=70°，
∴∠2=35°；
（2）连接BD，交AC于O，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，CD=AB=2BE-1，
∵BE=DE，
∴BD⊥AC，
∵tan∠3=3tan∠1=3tan∠4，
∴$\frac{OD}{OE}=3×\frac{OD}{OC}$，
∴OC=3OE，
∴DE=CE=2OE，
∴∠ODE=30°，
∴OD=$\sqrt{3}$OE，∠3=60°，
∴∠4=30°，
∴CD=2OD，
设BE=DE=CE=x，则OD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，CD=2x-1，
∴2x-1=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
解得：x=2+$\sqrt{3}$，
∴BE=2+$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、解直角三角形等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明BD⊥AC是解决问题（2）的关键．