Question

在半圆O中，AB为直径，一直线交半圆周于C、D，交AB延长线于M（MB＜MA，AC＜MD），设K是△AOC与△DOB的外接圆除点O外的另一个交点，求证：∠MKO=90°．

Answer 1

考点：四点共圆

专题：证明题

分析：连接CK，BK，BC，由AB是⊙O直径可得∠OAC+∠ABC=90°，根据圆周角定理可得∠OAC=∠OKC，要证∠MKO=90°，只需证到∠ABC=∠MKC，只需证到B、C、K、M四点共圆，只需证到∠BMC=∠BKC即可．

解答：证明：连接CK，BK，BC，如图所示．
∵AB是⊙O直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠OAC+∠ABC=90°．
∵A、B、C、D四点共圆，
∴∠BDC=∠BAC．
∵A、O、C、K四点共圆，
∴∠CKO=∠OAC．
∵D、O、B、K四点共圆，
∴∠BKO=∠BDO．
∴∠BKC=∠BKO-∠CKO=∠BDO-∠OAC．
∵OB=OD，
∴∠ABD=∠BDO．
∴∠BMC=∠ABD-∠BDC=∠BDO-∠BAC=∠BKC．
∴B、C、K、M四点共圆．
∴∠ABC=∠MKC．
∴∠MKO=∠MKC+∠CKO=∠ABC+∠OAC=90°．

点评：本题考查了四点共圆的判定、圆周角定理、圆内接四边形的性质等知识，而证到B、C、K、M四点共圆是解决本题的关键．