Question

已知：如图，Rt△ABC，∠ACB=90°，点E是边BC上一点，过点E作FE⊥BC（垂足为E）交AB于点F，且EF=AF，以点E为圆心，EC长为半径作⊙E交BC于点D
（1）求证：斜边AB是⊙E的切线；
（2）设AB与⊙E相切的切点为G，AC=8，EF=5，连DA、DG，求AE的长．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：

分析：（1）过E作EG⊥AB于G，过F作FM⊥AC于M，推出四边形FMCE是矩形，求出CE=FM，EF=CM，求出∠GFE=∠A，证△EGF≌△FMA，推出FM=EG=CE，根据切线的判定推出即可；
（2）求出FG，根据勾股定理求出半径，再根据勾股定理求出AE即可．

解答：（1）证明：
过E作EG⊥AB于G，过F作FM⊥AC于M，
则∠EGF=∠FMA=90°，
∵∠ACB=90°，
∴FM∥BC，
∵EF∥AC，
∴四边形FMCE是矩形，
∴CE=FM，EF=CM，
∵EF∥AC，
∴∠GFE=∠A，
在△EGF和△FMA中

∠GFE=∠A ∠EGF=∠FMA AF=FE

∴△EGF≌△FMA（AAS），
∴FM=EG，
∵FM=CE，
∴EG=CE，
∵EG⊥AB，
∴斜边AB是⊙E的切线；

（2）解：
∵∠ACB=90°，
∴AC是⊙E的切线，
∵AB是⊙E的切线，AC=8，
∴AG=AC=8，
∵AF=EF=5，
∴FG=8-5=3，
在Rt△EGF中，由勾股定理得：EG=

55-32

=4，
即CE=4，
在Rt△ACE中，AC=8，CE=4，由勾股定理得：AE=

42+82

=4

5

．

点评：本题考查了矩形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，切线的性质和判定，勾股定理的应用，题目比较好，综合性比较强，有一定的难度．