如图.已知在△ABC中.∠A.∠B.∠C的边分别为a.b.c.点P是AB边上的一个动点.连接PC.过P作PQ∥AC交BC于Q点．(1)如果a.b满足关系式a2+b2-12a-16b+100=0.c是不等式组$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2x-1}{3}＞x-4}\\{2x+3＜\frac{6x+1}{2}}\end{array}\right.$� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

16．

如图，已知在△ABC中，∠A，∠B，∠C的边分别为a，b，c，点P是AB边上的一个动点（P与A，B不重合），连接PC，过P作PQ∥AC交BC于Q点．
（1）如果a，b满足关系式a²+b²-12a-16b+100=0，c是不等式组$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2x-1}{3}＞x-4}\\{2x+3＜\frac{6x+1}{2}}\end{array}\right.$的最大整数解，试说明△ABC的形状；
（2）设AP=x，S_△PCQ=y，试求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；
（3）根据（2）所求得的函数关系式计算：当AP取多长时，△PCQ的面积最大？最大面积是多少？

分析（1）利用配方法把a²+b²-12a-16b+100=0整理为完全平方形式，根据非负数的性质得到a、b的值；再解给出的不等式组求出c的值，进而课判断三角形的形状；
（2）利用相似图形的面积比等于相似比的平方，可用x表示出△BPQ的面积，而△APC与△ABC等高不等底，也可以用x表示出它的面积，根据图形面积之间的关系可找出所求y与x之间的关系；
（3）将（2）中得出的二次函数配成完全平方形式，即可得出结论．

解答解：（1）∵a²+b²-12a-16b+100=0，
∴（a-6）²+（b-8）²=0，
∴a-6=0，b-8=0，
∴a=6，b=8．
∵不等式组$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2x-1}{3}＞x-4}\\{2x+3＜\frac{6x+1}{2}}\end{array}\right.$的解是
解得$\frac{5}{2}$＜x＜11，
∵c是不等式组的最大整数解，
∴c=10．
∵8²+6²=10²，即a²+b²=c²，
∴△ABC是直角三角形；
（2）由（1）可知△ABC面积6×8÷2=24，
∵PQ∥AC，
∴△BPQ∽△BAC，
∴$\frac{{S}_{△BPQ}}{{S}_{△BAC}}$=${（\frac{BP}{BA}）}^{2}$=${（\frac{10-x}{10}）}^{2}$，
S_△BPQ=24${（\frac{10-x}{10}）}^{2}$，
∵△APC与△ABC等高不等底，
∴$\frac{{S}_{△APC}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{x}{10}$，
S_△APC=$\frac{24x}{10}$，
S_△CPQ=S_△ABC-S_△APC-S_△BPQ=24-$\frac{24x}{10}$-24${（\frac{10-x}{10}）}^{2}$=y，
整理得y=-0.24x²+2.4x，
又∵点P是AB边上的一个动点（P与A，B不重合），
∴0＜x＜10，
故y与x之间的函数关系式为y=-0.24x²+2.4x（0＜x＜10）．
（3）∵y=-0.24x²+2.4x=-0.24（x-5）²+6（0＜x＜10），
∴当x=5时，y最大，此时y=6，
答：当AP取5时，△PCQ的面积最大，最大面积是6．