Question

10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=$\frac{1}{2}$ax²-2ax（a＞0）与x轴正半轴交于点A，点B是抛物线的顶点，矩形CDEF的顶点D、E在x正半轴上，C、F在抛物线上，且点D的横坐标为1，连结BC、BF，以BC为斜边向右侧作等腰直角三角形BCG
（1）求点B的坐标（用含a的代数式表示）
（2）当矩形CDEF为正方形时，求此抛物线所对应的函数表达式
（3）当点G在抛物线对称轴上时，求此抛物线所对应的函数表达式
（4）直接写出点G在五边形BCDEF边所在的直线上时a的值．

Answer 1

分析 （1）依据抛物线的对称轴方程可求得点B的横坐标为2，将x=2代入抛物线的解析式求得对应的y值可求得点B的纵坐标；
（2）依据抛物线的对称性可求得点E的坐标，则DE=2，依据正方形的性质可得到DC=2，然后求得点C的纵坐标，最后依据DC=2可得到关于a的方程；（3）先求得点G（2，-$\frac{3}{2}$a），由GB=GC可得到BG=1，然后用含a的式子表示BG的长，最后列出关于a的方程可求得a的值；
（4）当点G在DE上时．先证明△CDG≌△GHB，可得到HG=DC=$\frac{3}{2}$a，DG=HB=2a，然后依据DG+GH=1列方程求解即可；构造等腰直角△ABC，∠C=90°，延长BC到D是BD=AD，可求得∠D=22.5，然后再求得tan22.5°的值，当点G在BF上时，记对称轴与CF的交点为H，由∠CBG=45°以及抛物线的对称性可知∠HBF=22.5，然后依据tan∠FBH=$\frac{FH}{BH}$列方程求解即可．

解答 解：（1）x=-$\frac{b}{2a}$=$\frac{2a}{2×\frac{1}{2}a}$=2，
将x=2代入抛物线的解析式得y=$\frac{1}{2}$a×4-2a×2=-2a．
∴点B的坐标为（2，-2a）．

（2）∵D（1，0），抛物线的对称轴为x=2，
∴E（3，0）．
∴DE=2．
∵CDEF为正方形，
∴DC=DE=2．
将x=1代入抛物线的解析式得：y=-$\frac{3}{2}$a，
∴C（1，-$\frac{3}{2}$a）．
∴$\frac{3}{2}$a=2，解得：a=$\frac{4}{3}$．
∴抛物线的表达式为y=$\frac{2}{3}$x²-$\frac{8}{3}$x．

（3）如图1所示：

当点G在对称轴上时，BG=CG=1．
∵C（1，-$\frac{3}{2}$a），CG∥x轴，
∴G（2，-$\frac{3}{2}$a）．
又∵B（2，-2a），
∴BG=$\frac{1}{2}$a=1，解得a=2，
∴抛物线的解析式为y=x²-4x．

（4）如图2所示：当点G在DE上时．

∵△CGB为等腰直角三角形，
∴CG=BG．
∵∠DGC+∠BGH=90°，∠DCG+∠DGC=90°，
∴∠BGH=∠DCG．
在△CDG和△GHB中$\left\{\begin{array}{l}{∠BGH=∠DCG}\\{∠D=∠H}\\{CG=BG}\end{array}\right.$，
∴△CDG≌△GHB．
∴HG=DC=$\frac{3}{2}$a，DG=HB=2a．
∵DG+GH=1，
∴$\frac{3}{2}$a+2a=1，解得a=$\frac{2}{7}$．
如图3所示：△ABC为等腰直角三角形，且AB=BD．

∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°，AB=$\sqrt{2}$AC．
∵AB=BD=$\sqrt{2}$AC，
∴∠D=22.5．
∴tan∠22.5=$\frac{AC}{AC+\sqrt{2}AC}$=$\frac{1}{1+\sqrt{2}}$．
如图4所示：

∵∠CBD=45°，点C与点F关于BH对称，
∴∠HBF=22.5°．
∴$\frac{FH}{HB}$=$\frac{1}{1+\sqrt{2}}$，即：$\frac{1}{\frac{1}{2}a}$=$\frac{1}{1+\sqrt{2}}$，解得：a=2$+2\sqrt{2}$．
综上所述a的值为$\frac{2}{7}$或2+2$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了二次函数的性质、矩形、正方形，等腰直角三角形的性质，通过构造直角三角形求得tan22.5°的值是解题的关键．