如图.在平面直角坐标系xOy中.Rt△ABC的直角顶点C在抛物线y=ax2+bx上运动.斜边AB垂直于y轴.且AB=8.∠ABC=60°.当Rt△ABC的斜边AB落在x轴上时.B点坐标是.A点恰在抛物线y=ax2+bx上(1)求AB边上的高线CD的长,(2)求抛物线解析式,(3)Rt△ABC在运动过程中有可能被y轴分成两部分.当这两部分的面积之比为1:2时.求� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

1．

如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt△ABC的直角顶点C在抛物线y=ax²+bx上运动，斜边AB垂直于y轴，且AB=8，∠ABC=60°，当Rt△ABC的斜边AB落在x轴上时，B点坐标是（-3，0），A点恰在抛物线y=ax²+bx上
（1）求AB边上的高线CD的长；
（2）求抛物线解析式；
（3）Rt△ABC在运动过程中有可能被y轴分成两部分，当这两部分的面积之比为1：2时，求顶点C的坐标．

分析（1）根据直角三角形两锐角互余求出∠A=∠BCD=30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出BC、BD，再利用勾股定理列式计算即可得解；
（2）根据点B的坐标和AB的长度求出点A的坐标，再求出点C的坐标，然后利用待定系数法求二次函数解析式解答；
（3）设AC、AB与y轴的交点分别为E、F，再分两种情况，利用三角形AEF的面积求出AF，再表示出DF，得到点C的横坐标，再根据点C在抛物线上，把点C的横坐标代入抛物线求解得到点C的纵坐标即可得解．

解答解：（1）过点C作CD⊥AB于D，
在Rt△ABC中，AB=8，∠ABC=60°，
∴∠A=30°，
∴BC=$\frac{1}{2}$AB=4，AC=4$\sqrt{3}$，
在Rt△BCD中，∠ABC=60°，
∴∠ABC=60°，
∴∠BCD=30°，
∵BC=4，
∴BD=2，CD=2$\sqrt{3}$，
即：AB边上的高线CD的长为2$\sqrt{3}$；
（2）由（1）知，BD=2，
∵AB=8，B（-3，0），
∴A（5，0），
∴C的横坐标为-1，
∴C（-1，2$\sqrt{3}$），
∵A（5，0），C（-1，2$\sqrt{3}$）恰在抛物线y=ax²+bx上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{25a+5b=0}\\{a-b=2\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{b=-\frac{5\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}{x}^{2}-\frac{5\sqrt{3}}{3}x$，
（3）由（1）知，BC=4，AC=4$\sqrt{3}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AC=8$\sqrt{3}$，
∴$\frac{1}{3}$S_△ABC=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，
由（1）知，BD=2，CD=2$\sqrt{3}$，
∴S_△BCD=$\frac{1}{2}$BD•CD=2$\sqrt{3}$，
∴$\frac{1}{3}$S_△ABC＞S_△BCD，
∵Rt△ABC在运动过程中有可能被y轴分成两部分，当这两部分的面积之比为1：2时，y轴只能和AC、AB相交，设△ABC的边AC、AB与y轴相交于E，F，
在Rt△AEF中，∠A=30°，
∴EF=AFtan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AF，
∴S_△AEF=$\frac{1}{2}$AF•EF=$\frac{\sqrt{3}}{6}$AF²，
①当S_△AEF=$\frac{1}{3}$S_△ABC=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{6}$AF²=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，
∴AF=4，
∵AD=AB-BD=6，
∴C点的横坐标为-2，
∵点C在抛物线y=$\frac{\sqrt{3}}{3}{x}^{2}-\frac{5\sqrt{3}}{3}x$上，
∴点C的纵坐标为$\frac{\sqrt{3}}{3}×4-\frac{5\sqrt{3}}{3}×（-2）$=$\frac{14\sqrt{3}}{3}$，
∴C（-2，$\frac{14\sqrt{3}}{3}$），
②当S_△AEF=$\frac{2}{3}$S_△ABC=$\frac{16\sqrt{3}}{3}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{6}$AF²=$\frac{16\sqrt{3}}{3}$，
∴AF=4$\sqrt{2}$，
∵AD=AB-BD=6，
∴C点的横坐标为4$\sqrt{2}$-6，
∵点C在抛物线y=$\frac{\sqrt{3}}{3}{x}^{2}-\frac{5\sqrt{3}}{3}x$上，
∴点C的纵坐标为$\frac{\sqrt{3}}{3}×（4\sqrt{2}-6）^{2}-\frac{5\sqrt{3}}{3}（4\sqrt{2}-6）$=$\frac{98\sqrt{3}-68\sqrt{6}}{3}$，
∴C（4$\sqrt{2}$-6，$\frac{98\sqrt{3}-68\sqrt{6}}{3}$）．
即：满足条件的点C的坐标为$（{-2\;，\;\;\frac{{14\sqrt{3}}}{3}}）$，$（{4\sqrt{2}-6\;，\;\;\frac{{98\sqrt{3}}}{3}-\frac{{68\sqrt{6}}}{3}}）$．