Question

9．已知点M为抛物线y=x²+bx+b的顶点，抛物线与x轴无交点，点N在抛物线的对称轴上且位于点M上方．若点N到点M的距离是点M到x轴距离的两倍，直线ON的解析式为y=kx，请求出k关于b的函数关系式．

Answer 1

分析 利用配方法求出点M坐标，根据条件求出点N坐标代入y=kx，求出k，再根据△＜0确定b的取值范围即可．

解答 解：y=x²+bx+b=（x+$\frac{b}{2}$）²+$\frac{4b-{b}^{2}}{4}$，
∴点M坐标（-$\frac{b}{2}$，$\frac{4b-{b}^{2}}{4}$），抛物线对称轴x=-$\frac{b}{2}$，
∴点N的横坐标为-$\frac{b}{2}$，
点N的纵坐标为$\frac{4b-{b}^{2}}{4}$+$\frac{8b-2{b}^{2}}{4}$=$\frac{12b-3{b}^{2}}{4}$，
∴N（-$\frac{b}{2}$，$\frac{12b-3{b}^{2}}{4}$），代入y=kx得到
k×（-$\frac{b}{2}$）=$\frac{12b-3{b}^{2}}{4}$，
∴k=$\frac{3}{2}$b-6，
∵抛物线与x轴无交点，
∴△=b²-4b＜0，
∴0＜b＜4，
∴k=$\frac{3}{2}$b-6    （0＜b＜4）．

点评 本题考查抛物线与x轴解得问题、配方法求顶点坐标等知识，解题的关键是知道抛物线与x轴交点情况可以用△的值判定，灵活掌握待定系数法，属于中考常考题型．