Question

12．如图，在正方形ABCD 中，点E，F分别在边BC，DC上，AE、AF分别交BD于点M，N，连接CN、EN，且CN=EN．下列结论：①AN=EN，AN⊥EN；②BE+DF=EF；③∠DFE=2∠AMN；④EF²=2BM²+2DN²；⑤图中只有4对相似三角形．其中正确结论的个数是（　　）

• A． 5
• B． 4
• C． 3
• D． 2

Answer 1

分析 ①正确，只要证明△NBA≌△NBC，∠ABE+∠ANE=180°即可解决问题；
②正确．只要证明△AFH≌△AFE即可；
③正确．只要证明∠AMN=∠DFN，∠AFH=∠AFE即可；
④正确．如图2中，首先证明△AMN∽△AFE，可得$\frac{NM}{EF}$=$\frac{AN}{AE}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$，推出EF=$\sqrt{2}$MN，再证明MN²=DN²+DG²=DN²+BM²，即可解决问题；
⑤错误．相似三角形不止4对相似三角形．

解答 解：将△ABN绕点A逆时针旋转90°得到△ADH．
∵四边形ABCD是中正方形，
∴AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°，∠ABD=∠CBD=45°，
在△BNA和△BNC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BN=BN}\\{∠NBA=∠NBC}\\{BA=BC}\end{array}\right.$，
∴△NBA≌△NBC，
∴AN=CN，∠BAN=∠BCN，
∵EN=CN，
∴AN=EN，∠NEC=∠NCE=∠BAN，
∵∠NEC+∠BEN=180°，
∴∠BAN+∠BEN=180°，
∴∠ABC+∠ANE=180°，
∴∠ANE=90°，
∴AN=NE，AN⊥NE，故①正确，
∵∠3=45°，∠1=∠4，
∴∠2+∠4=∠2+∠1=45°，
∴∠3=∠FAH=45°，∵AF=AF，AE=AH，
∴△AFE≌△AFH，
∴EF=FH=DF+DH=DF+BE，∠AFH=∠AFE，故②正确，
∵∠MAN=∠NDF=45°，∠ANM=∠DNF，
∴∠AMN=∠AFD，
∴∠DFE=2∠AMN，故③正确，
∵∠MAN=∠EAF，∠AMN=∠AFE，
∴△AMN∽△AFE，
∴$\frac{NM}{EF}$=$\frac{AN}{AE}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$，
∴EF=$\sqrt{2}$MN，
如图2中，将△ABM绕点A逆时针旋转90°得到△ADG，
易证△ANG≌△ANM，△GDN是直角三角形，
∴MN=GN，
∴MN²=DN²+DG²=DN²+BM²，
∴EF²=2（DN²+BM²）=2BM²+2DN²，故④正确，
图中相似三角形有△ANE∽△BAD～△BCD，△ANM∽△AEF，△ABN∽△FDN，△BEM∽△DAM等，故⑤错误，
故选B．

点评 本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用旋转法，添加辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．