题目内容
5．（1）问题如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°．求证：$\frac{AD}{BP}$=$\frac{AP}{BC}$．
（2）探究
如图，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC=∠A=∠B=θ时，上述结论是否依然成立？说明理由．
（3）应用
请利用（1）（2）获得的经验解决问题
如图3，在△ABD中，AB=6，AD=BD=5，点P以每秒1个单位长度的速度，由点A出发，沿边AB向点B运动，且满足∠CPD=∠A．设点P的运动时间为t（秒），当以D为圆心，DC为半径的圆与AB相切时，求t的值．
分析 （1）如图1，由∠DPC=∠A=∠B=90°可得∠ADP=∠BPC，即可证到△ADP∽△BPC，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；
（2）如图2，由∠DPC=∠A=∠B=θ可得∠ADP=∠BPC，即可证到△ADP∽△BPC，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；
（3）如图3，过点D作DE⊥AB于点E，根据等腰三角形的性质可得AE=BE=3，根据勾股定理可得DE=4，由题可得DC=DE=4，则有BC=5-4=1．易证∠DPC=∠A=∠B．根据AD•BC=AP•BP，就可求出t的值．
解答 （1）证明：如图1，
∵∠DPC=∠A=∠B=90°，
∴∠ADP+∠APD=90°，
∠BPC+∠APD=90°，
∴∠ADP=∠BPC，
∴△ADP∽△BPC，
∴$\frac{AD}{BP}$=$\frac{AP}{BC}$；
（2）解：结论$\frac{AD}{BP}$=$\frac{AP}{BC}$仍然成立．
理由：如图2，
∵∠BPD=∠DPC+∠BPC，∠BPD=∠A+∠ADP，
∴∠DPC+∠BPC=∠A+∠ADP．
∵∠DPC=∠A=∠B=θ，
∴∠BPC=∠ADP，
∴△ADP∽△BPC，
∴$\frac{AD}{BP}$=$\frac{AP}{BC}$；
（3）解：如图3，
过点D作DE⊥AB于点E．
∵AD=BD=5，AB=6，
∴AE=BE=3．
由勾股定理可得DE=4．
∵以点D为圆心，DC为半径的圆与AB相切，
∴DC=DE=4，
∴BC=5-4=1．
又∵AD=BD，
∴∠A=∠B，
∴∠DPC=∠A=∠B．
∵AD=BD，
∴∠A=∠B，
∵∠BPD=∠A+∠ADP=∠DPC+∠BPC，∠DPC=∠A，
∴∠ADP=∠BPC，
∴△APD∽△BCP，
∴$\frac{AD}{BP}$=$\frac{AP}{BC}$，
∴AD•BC=AP•BP；
∴5×1=t（6-t），
解得：t1=1，t2=5，
∴t的值为1秒或5秒．
点评 此题主要考查了相似三角形的判定与性质、切线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、等角的余角相等、三角形外角的性质、解一元二次方程等知识，以及运用已有经验解决问题的能力，渗透了特殊到一般的思想．
轻巧夺冠周测月考直通中考系列答案
如图是由5个大小相同的正方体组成的几何体，则该几何体的主视图是（ ）
在数轴上标注了四段范围，如图所示，则表示-$\sqrt{10}$的点落在（ ）| A． | 段① | B． | 段② | C． | 段③ | D． | 段④ |
如图，在平面直角坐标系中有△ABC，以点O为位似中心，相似比为2，将△ABC放大，则它的对应顶点的坐标为（ ）| A． | （2，$\frac{3}{2}$），（$\frac{3}{2}，\frac{1}{2}$），（$\frac{1}{2}，1$） | B． | （8，6）（6，2）（2，4） | ||
| C． | （8，6）（6，2）（2，4）或（-8，-6）（-6，-2）（-2，-4） | D． | （8，-6）（6，-2）（2，-4）或（-8，6）（-6，2）（-2，4） |
| A． | 1个 | B． | 2个 | C． | 3个 | D． | 4个 |