题目内容
16．已知，直线l1：y=-x+n过点A（-1，3），双曲线C：y=$\frac{m}{x}$（x＞0），过点B（1，2），动直线l2：y=kx-2k+2（常数k＜0）恒过定点F．（1）求直线l1，双曲线C的解析式，定点F的坐标；
（2）在双曲线C上取一点P（x，y），过P作x轴的平行线交直线l1于M，连接PF．求证：PF=PM．
（3）若动直线l2与双曲线C交于P1，P2两点，连接OF交直线l1于点E，连接P1E，P2E，求证：EF平分∠P1EP2．
分析 （1）由直线l1：y=-x+n过点A（-1，3），双曲线C：y=$\frac{m}{x}$（x＞0），过点B（1，2），利用待定系数法即可求得直线l1，双曲线C的解析式；由动直线l2：y=kx-2k+2，配方法可求得定点F的坐标；
（2）首先在双曲线C上任取一点P（x，y），过P作x轴的平行线交直线l1于M（x0，y），连接PF．然后分别求得PM与PF的长，继而证得结论；
（3）首先过P1分别作P1M1∥x轴交l1于M1，作P1N1⊥l1，垂足为N1，过P2分别作P2M2∥x轴交l1于M2，作P2N2⊥l1，垂足为N2，易证得EF⊥l1，可得P1N1∥EF∥P2N2，继而证得△P1N1E∽△P2N2E，然后由相似三角形的对应角相等，证得结论．
解答 （1）解：∵直线l1：y=-x+n过点A（-1，3），
∴-（-1）+n=3，
解得：n=2，
∴直线l1的解析式为：y=-x+2，
∵双曲线C：y=$\frac{m}{x}$（x＞0）过点B（1，2），
∴m=xy=1×2=2，
即双曲线C的解析式为：y=$\frac{2}{x}$，
∵动直线l2：y=kx-2k+2=k（x-2）+2，
∴不论k为任何负数时，当x=2时，则y=2，
即动直线l2：y=kx-2k+2恒过定点F（2，2）；
（2）证明：如图1，在双曲线C上任取一点P（x，y），过P作x轴的平行线交直线l1于M（x0，y），连接PF．
则PF=x-x0，
又∵M（x0，y）在直线l1上，
∴-x0+2=y，
∴x0=2-y=2-$\frac{2}{x}$，
∴PM=x+$\frac{2}{x}$-2，
又∵PF=$\sqrt{（x-2）^{2}+（y-2）^{2}}$=$\sqrt{（x-2）^{2}+（\frac{2}{x}-2）^{2}}$=$\sqrt{（x+\frac{2}{x}）^{2}-4（x+\frac{2}{x}）+4}$=$\sqrt{（x+\frac{2}{x}-2）^{2}}$=x+$\frac{2}{x}$-2；
（注：x+$\frac{2}{x}$-2=（$\sqrt{x}$）2+（$\sqrt{\frac{2}{x}}$）2-2$\sqrt{x}$•$\sqrt{\frac{2}{x}}$+2$\sqrt{2}$-2=（$\sqrt{x}$-$\sqrt{\frac{2}{x}}$）2+2$\sqrt{2}$-2=（$\sqrt{x}$-$\sqrt{\frac{2}{x}}$）2+2（$\sqrt{2}$-1）≥2（$\sqrt{2}$-1）＞0）
∴PM=PF；
（3）证明：如图2，过P1分别作P1M1∥x轴交l1于M1，作P1N1⊥l1，垂足为N1，过P2分别作P2M2∥x轴交l1于M2，作P2N2⊥l1，垂足为N2，
∵直线l1的解析式为y=-x+2，
∴△P1M1N1和△P2M2N2都是等腰直角三角形．
∴P1N1=$\frac{\sqrt{2}}{2}$P1M1=$\frac{\sqrt{2}}{2}$P1F，P2N2=$\frac{\sqrt{2}}{2}$P2M2=$\frac{\sqrt{2}}{2}$P2F，
∵直线EF的解析为：y=x，
∴EF⊥l1，
∴P1N1∥EF∥P2N2，
∴$\frac{{N}_{1}E}{E{N}_{2}}=\frac{{P}_{1}F}{F{P}_{2}}$=$\frac{\sqrt{2}{P}_{1}{N}_{1}}{\sqrt{2}{P}_{2}{N}_{2}}$=$\frac{{P}_{1}{N}_{1}}{{P}_{2}{N}_{2}}$，
即$\frac{{N}_{1}E}{E{N}_{2}}$=$\frac{{P}_{1}{N}_{1}}{{P}_{2}{N}_{2}}$，
∴△P1N1E∽△P2N2E，
∴∠P1EN1=∠P2EN2，
∵∠P1EF=90°-∠P1EN1，∠P2EF=90°-∠P2EN2，
∴∠P1EF=∠P2EF，
∴EF平分∠P1EP2．
点评 此题属于反比例函数综合题．考查了待定系数求函数解析式、勾股定理、等腰直角三角形的性质以及相似三角形的判定与性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
如图，由∠1=∠2得到AB∥CD的理由是（ ）| A． | 两直线平行，同位角相等 | B． | 两直线平行，内错角相等 | ||
| C． | 同位角相等，两直线平行 | D． | 内错角相等，两直线平行 |
如图，△ABC的顶点坐标分别为（4，1），B（6，1），C（7，5）
如图，抛物线y=ax2-2ax-4交x轴的正半轴于点A，交y轴于点B，且OA=OB．
为了解一路段车辆行驶速度的情况，交警统计了该路段上午7：00至9：00来往车辆的车速（单位：千米/时），并绘制成如图所示的条形统计图．这些车速的众数是70千米/时．