题目内容
12．
如图，抛物线y=-$\frac{1}{2}$x2+bx+c与x轴交于A、B两点（A左B右），交y轴于点C，直线y=x分别交抛物线于D、E，连接BD，且OD=4$\sqrt{2}$，OB=4（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为线段BD上方抛物线上一点，过点P作y轴的平行线交直线DE于N．设P点的横坐标为m，线段PN的长为d，求d与m的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，过点B作BG⊥DE，垂足为G，过点P作PH⊥BD，垂足为H，若GH=GP．求点点P的坐标．
分析 （1）首先确定D、B两点坐标，利用待定系数法即可解决问题；
（2）利用方程组求出点E坐标，分两种情形即可解决问题；
（3）延长PG交BD于F，作PM∥y轴交BD于M，GN∥y轴交BD于N，交AB于K．由△OBG是等腰三角形，易知G（2，2），直线BD的解析式为y=$\frac{1}{2}$x-2，首先证明PM=2GN，易知N（2，-1），GN=3，推出PM=6=（-$\frac{1}{2}$m2+$\frac{1}{2}$m+6）-（$\frac{1}{2}$m-2）=6，解方程即可解决问题．
解答 解：（1）∵D在直线y=x上，OD=4$\sqrt{2}$，
∴D（-4，-4），
∵OB=4，
∴B（4，0），
把D（-4，-4），B（4，0）代入y=-$\frac{1}{2}$x2+bx+c得到$\left\{\begin{array}{l}{-8-4b+c=-4}\\{-8+4b+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{1}{2}}\\{c=6}\end{array}\right.$，
∴y=-$\frac{1}{2}$x2+$\frac{1}{2}$x+6．
（2）由题意P（m，-$\frac{1}{2}$m2+$\frac{1}{2}$m+6），N（m，m），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{1}{2}x+6}\\{y=x}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-4}\\{y=-4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=3}\end{array}\right.$，
∴E（3，3），
①当-4＜m≤3时，d=-$\frac{1}{2}$m2+$\frac{1}{2}$m+6-m=-$\frac{1}{2}$m2-$\frac{1}{2}$m+6，
②当3＜m＜4时，d=m-（-$\frac{1}{2}$m2+$\frac{1}{2}$m+6）=$\frac{1}{2}$m2+$\frac{1}{2}$m-6，
（3）延长PG交BD于F，作PM∥y轴交BD于M，GN∥y轴交BD于N，交AB于K．
∵D（-4，-4），B（4，0），
∵△OBG是等腰三角形，易知G（2，2），
直线BD的解析式为y=$\frac{1}{2}$x-2，
∵PG=GH，
∴∠GPH=∠GHP，
∵∠GPH+∠PFH=90°，∠GHF+∠GHP=90°，
∴∠GHF=∠GFH，
∴HG=GP=FG，
∵GN∥PM，
∴MN=FM，
∴PM=2GN，
易知N（2，-1），GN=3，
∴PM=6=（-$\frac{1}{2}$m2+$\frac{1}{2}$m+6）-（$\frac{1}{2}$m-2）=6，
解得m=2或-2，
∴P（2，5）或（-2，3）．
点评 本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、直角三角形的性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题关键是学会添加常用辅助线，学会利用参数解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
阳光课堂同步练习系列答案
为推进“全国亿万学生阳光体育运动”的实施，组织广大同学开展健康向上的第二课堂活动．我市某中学准备组建球类社团（足球、篮球、羽毛球、乒乓球）、舞蹈社团、健美操社团、武术社团，为了解在校学生对这4个社团活动的喜爱情况，该校随机抽取部分初中生进行了“你最喜欢哪个社团”调查，依据相关数据绘制成以下不完整的统计表，请根据图表中的信息解答下列问题：| 社团类别 | 人数 | 占总人数比例 |
| 球类 | 60 | m |
| 舞蹈 | 30 | 0.25 |
| 健美操 | n | 0.15 |
| 武术 | 12 | 0.1 |
（2）请补全统计图；
（3）被调查的60个喜欢球类同学中有3人最喜欢足球，若该校有3000名学生，请估计该校最喜欢足球的人数．
如图，直线y=2x+2与直线y=-2x+6交于点P，它们分别与x轴交于A，B．