Question

8．如图，△ABC中，沿∠BAC的平分线AB．折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿∠B₁A₁C的平分线A₁B₂折叠，剪掉重叠部分，…；将余下部分沿∠A_n-1B_n-1折叠，经过n次折叠，若点B_n-1于点C重合，就称∠ABC的n阶“完美”角．
（1）△ABC中，∠B＞∠C，AB=3，若∠ABC是△ABC的3阶“完美”角，且第三次折叠的折痕与AB平行，求出B₁B₂的长；
（2）△ABC中，若三个内角都是某阶段“完美”角，已知有一个角是2阶“完美”角且每个内角的度数均大于10的整数，直接写出三角形三个内角的度数．

Answer 1

分析 （1）根据题意∠B=90°，∠C=30°，∠BAC=60°，设B₁B₂=B₂A₂=A₂C=a，则CM=MB₂=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，列出方程即可解决．
（2）假设∠A是2阶“完美”角，∠A＞∠C≥∠B，由题意设∠B=y，∠C=ny，∠A=2ny（n为正整数），根据内角和定理，以及∠A，∠B，∠C都是整数，可以得到n=1或3由此即可解决问题．

解答 解：（1）如图1中，AM为折痕，
∵A₂M⊥BC，AB∥A₂M，
∴∠B=90°，设∠C=x，则∠A₂B₂C=x，∠A₁A₂B₂=∠A₁B₁C=2x，
∴∠AA₁B₁=∠B=∠A₁B₁C+∠C，
∴3x=90°，
∴x=30°，
∴∠C=30°，∠BAC=60°，
在RT△ABB₁中，∵∠BAB₁=30°，AB=3，
∴BB₁=$\sqrt{3}$，又BC=3$\sqrt{3}$，
∴B₁C=2$\sqrt{3}$，设B₁B₂=B₂A₂=A₂C=a，则CM=MB₂=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
∴x+$\sqrt{3}$x=2$\sqrt{3}$，
x=3-$\sqrt{3}$．
（2）假设∠A是2阶“完美”角，∠A＞∠C≥∠B，由题意设∠B=y，∠C=ny，∠A=2ny（n为正整数），
∵y+ny+2ny=180°，
∴y=$\frac{180°}{3n+1}$，
∵$\frac{180°}{3n+1}$＞10°
∴n＜$\frac{17}{3}$，
∵n为正整数，
∴n=1或2或3或4或5，
∵∠A，∠B，∠C都是整数，
∴n=1或3，
∴三角形的三个内角分别为45°，45°，90°或18°，54°，108°．

点评 本题考查翻折不变性，理解题意是解决问题的关键，学会利用不等式，把问题转化为求不等式的整数解，难度比较大，考查学生综合利用知识的能力．