Question

已知：如图①，△ABC中，AI、BI分别平分∠BAC、∠ABC．CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，交BI延长线于E，联结CI．
（1）设∠BAC=2α．如果用α表示∠BIC和∠E，那么∠BIC=

 

，∠E=

 

；
（2）如果AB=1，且△ABC与△ICE相似时，求线段AC的长；
（3）如图②，延长AI交EC延长线于F，如果∠α=30°，sin∠F=

3

5

，设BC=m，试用m的代数式表示BE．

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：

分析：（1）根据三角形内角与外角的关系可以用α表示∠BIC和∠E；
（2）△ABC与△ICE相似，根据题意知∠ICE=90°，可分三种情况讨论．根据“相似三角形对应边的比相等”求出相应AC长；
（3）由于∠ACD是△ABC的外角，可得出∠ACD=∠BAC+∠ABC；由于CE、IA、IB分别为∠ACD、∠BAC、∠ABC的角平分线，不难得出∠ECD=∠BCF=∠BIF=∠BAI+∠ABI，由此可得出∠BCE=∠EIF，即可证得△EBC∽△EFI．所以根据该相似三角形的对应边成比例来求m的值．

解答：解：（1）在△BCE中有：∠E=180°-∠BCE-∠CBE，
又∵AI、BI分别平分∠BAC，
∴CI是∠ACB的平分线，
∵CE是∠ACD的平分线，
∴∠ECI是平角∠BCD的一半，
∴∠ECI=90°，
∴∠E=90°-∠BCI-∠CBI，
在△ABC中，

1

2

∠BAC=

1

2

（180°-∠ABC-∠ACB）=90°-∠BCI-∠CBE=α，即∠E=α．
在三角形BIC中，由外角性质得到：∠BIC=90°+α，
综上所述，∠BIC=90°+α，∠E=α．
故填：90°+α，α；

（2）由题意易证得△ICE是直角三角形，且∠E=α．
当△ABC∽△ICE时，可得△ABC是直角三角形，有下列三种情况：
①当∠ABC=90° 时，∵∠BAC=2α，∠E=α；
∴只能∠E=∠BCA，可得∠BAC=2∠BCA．
∴∠BAC=60°，∠BCA=30°．
∴AC=2 AB．
∵AB=1，
∴AC=2．
②当∠BCA=90° 时，
∵∠BAC=2α，∠E=α；
∴只能∠E=∠ABC，可得∠BAC=2∠ABC．
∴∠BAC=60°，∠ABC=30°．
∴AB=2 AC．
∵AB=1，
∴AC=

1

2

．
③当∠BAC=90° 时，∵∠BAC=2α，∠E=α；
∴∠E=∠BAI=∠CAI=45°．
∴△ABC是等腰直角三角形．即 AC=AB．
∵AB=1，
∴AC=1．
∴综上所述，当△ABC∽△ICE时，线段AC的长为1或2或

1

2

．

（3）∵∠E=∠CAI，由三角形内角和可得∠AIE=∠ACE．
∴∠AIB=∠ACF．
又∵∠BAI=∠CAI，
∴∠ABI=∠F．
又∵BI平分∠ABC，
∴∠ABI=∠F=∠EBC．
又∵∠E是公共角，
∴△EBC∽△EFI．
在Rt△ICF中，sin∠F=

3

5

，设IC=3k，那么CF=4k，IF=5k．
在Rt△ICE中，∠E=30°，设IC=3k，那么CE=3

3

k，IE=6k．
∵△EBC∽△EFI．
∴

BC

BE

=

IF

FE

=

5k

4k+3 3 k

．
又∵BC=m，
∴BE=

4+3 3

5

m．

点评：本题考查相似三角形的判定和性质，以及三角形内角与外角的关系．两三角形相似，注意根据对应边的不同，分情况讨论是解决本题的关键．