Question

5．在平面直角坐标系中，直角梯形OA₁B₁C的位置如图所示，A₁的坐标为（0，2），点C的坐标为（2，0），tan∠OCB₁=2，连接A₁C交OB₁于点B₂，作A₂B₂⊥y轴于点A₂，得到第二个直角梯形OA₂B₂C，连接A₂C交OB₁于点B₃，同样办法得到第三个直角梯形OA₃B₃C，…以此类推，第n个直角梯形顶点B_n的坐标为（$\frac{1}{12}$n²-$\frac{7}{12}$n+$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{6}$n²-$\frac{7}{6}$n+3）．

Answer 1

分析 作B₁D⊥OC于D，根据tan∠OCB₁=2，求出B₁的坐标，根据相似三角形的性质求出B₂的坐标，总结规律得到答案．

解答 解：作B₁D⊥OC于D，
由题意得，B₁D=OA₁=2，0C=2，
∵tan∠OCB₁=2，∴CD=1，
则AB₁=1，B₁（1，2），
∵A₁B₁∥OC，
∴$\frac{{A}_{1}{B}_{2}}{{B}_{2}C}$=$\frac{{A}_{1}{B}_{1}}{OC}$=$\frac{1}{2}$，
∵A₂B₂∥OC，
∴$\frac{{A}_{2}{B}_{2}}{OC}$=$\frac{{A}_{1}{B}_{2}}{{A}_{1}C}$=$\frac{{A}_{1}{A}_{2}}{{A}_{1}O}$=$\frac{1}{3}$，
∴A₂B₂=$\frac{2}{3}$，A₂O=$\frac{4}{3}$，
则B₂（$\frac{2}{3}$，$\frac{4}{3}$），
同理，B₃（$\frac{1}{2}$，1），
…
B_n的坐标为：（$\frac{1}{12}$n²-$\frac{7}{12}$n+$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{6}$n²-$\frac{7}{6}$n+3）

点评 本题考查的是直角梯形的性质、坐标与图形的性质以及相似三角形的判定和性质，根据相似三角形的性质分别求出B₁、B₂、B₃的坐标并总结出规律是解题的关键．