Question

17．已知：如图，在正方形ABCD中，AB=2，E为边BC延长线上一点，连接DE，BF⊥DE，交DE边于点F，BF与边CD相交于点G，连接EG，设CE=x．
（1）求证：CE=CG；
（2）设BF长度为y，建立y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）当点F是DE中点时，求△DFG的面积．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性质得出∠BCG=∠DCE=90°，DC=BC，再证出∠CDE=∠CBG，由ASA证明△DCE≌△BCG，即可得出结论；
（2）由CE=x，BF=y，则BE=2+x，由勾股定理得出DE=$\sqrt{4+{x}^{2}}$，证明△EBF∽△EDC，得出$\frac{BF}{DC}=\frac{BE}{DE}$，即可得出y与x之间的函数解析式，由CG≤DC得出函数的定义域；
（3）连接EG，则EG=$\sqrt{2}$x，有线段垂直平分线的性质得出DG=EG=$\sqrt{2}$x，得出CD=$\sqrt{2}$x+x=2，解方程求出x，得出DG，再由三角函数得出$\frac{GF}{DF}$=$\sqrt{2}$-1，设DF=a，则GF=（$\sqrt{2}$-1）a，在Rt△DGF中，根据勾股定理求出a²=4-2$\sqrt{2}$，S_△DFG=$\frac{1}{2}$DF•GF，即可得出结果．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCG=∠DCE=90°，DC=BC，
∴∠CDE+∠DEC=90°，
∵BF⊥DE，
∴∠BFE=90°，
∴∠CBG+∠DEC=90°，
∴∠CDE=∠CBG，
在△DCE和△BCG中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CDE=∠CBG}&{\;}\\{DC=BC}&{\;}\\{∠DCE=∠BCG}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△DCE≌△BCG（ASA），
∴CE=CG；
（2）解：∵∠EBF=∠CDE，∠BFE=∠DCE=90°，
∴△EBF∽△EDC，
∴$\frac{BF}{DC}=\frac{BE}{DE}$，
∵CE=x，BF=y，则BE=2+x，DE=$\sqrt{{2}^{2}+{x}^{2}}$=$\sqrt{4+{x}^{2}}$，
即$\frac{y}{2}=\frac{2+x}{\sqrt{4+{x}^{2}}}$，
∴y=$\frac{4+2x}{\sqrt{4+{x}^{2}}}$，
∵CG≤DC，
∴函数的定义域为0＜x≤2；
（3）解：如图所示：
∵CE=CG，
∴EG=$\sqrt{2}$x，
∵点F是DE中点，BF⊥DE，
∴DG=EG=$\sqrt{2}$x，
∴CD=DG+CG=$\sqrt{2}$x+x=2，
解得：x=2$\sqrt{2}$-2，
∴DG=4-2$\sqrt{2}$，
∵tan∠CDE=$\frac{GF}{DF}$，tan∠CBG=$\frac{CG}{BC}$=$\frac{2\sqrt{2}-2}{2}$=$\sqrt{2}$-1，
∴$\frac{GF}{DF}$=$\sqrt{2}$-1，
设DF=a，则GF=（$\sqrt{2}$-1）a，
在Rt△DGF中，DF²+GF²=DG²，
即a²+[（$\sqrt{2}$-1）a]²=（4-2$\sqrt{2}$）²，
解得：a²=4-2$\sqrt{2}$，
S_△DFG=$\frac{1}{2}$DF•GF=$\frac{1}{2}$a•（$\sqrt{2}$-1）a
=$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$a²=$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$×（4-2$\sqrt{2}$）
=（$\sqrt{2}$-1）（2-$\sqrt{2}$）=$\sqrt{2}$（$\sqrt{2}$-1）²
=$\sqrt{2}$（3-2$\sqrt{2}$）=3$\sqrt{2}$-4．

点评 本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、三角函数等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（3）中，需要运用勾股定理和三角函数才能得出结果．