Question

1．如图，已知四边形ABCD内接于半径为4的⊙O中，且∠C=2∠A，则BD=4$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 连接OD、OB，过点O作OF⊥BD，垂足为F，由垂径定理可知DF=BF，∠DOF=∠BOF，再由圆内接四边形的性质求出∠A的度数，故可得出∠BOD的度数，再由锐角三角函数的定义求出BF的长，进而可得出结论．

解答 解：连接OD、OB，过点O作OF⊥BD，垂足为F，
∵OF⊥BD，
∴DF=BF，∠DOF=∠BOF．
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+∠C=180°．
∵∠C=2∠A，
∴∠A=60°，
∴∠BOD=120°，
∴∠BOF=60°．
∵OB=4，
∴BF=OB•sin∠BOF=4×sin60°=2$\sqrt{3}$，
∴BD=2BF=4$\sqrt{3}$．
故答案为：4$\sqrt{3}$．

点评 本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键．