Question

7．将两块全等的三角板如图放置，点O为AB中点，AB=A′B′=10，BC=B′C′=6，现将三角板A′B′C′绕点O旋转，B′C′、A′B′与边AC分别交于点M、N，当CM=$\frac{25}{8}$或$\frac{7}{4}$时，△OMN与△BCO相似．

Answer 1

分析 由直角三角形斜边上的中线性质得出OC=$\frac{1}{2}$AB=OA=OB=5，由勾股定理求出AC=8，由全等三角形的性质得出∠B=∠MON．△OMN与△BCO相似，分两种情况：①当OM=MN时，作OD⊥AC于D，CE⊥AB于E，则AD=CD=$\frac{1}{2}$AC=4，由勾股定理求出OD，由三角形的面积求出CE，由相似三角形的性质得出比例式求出OM=MN=$\frac{25}{8}$，由勾股定理求出DM，得出CM=CD-DM=4-$\frac{7}{8}$=$\frac{25}{8}$；②当ON=MN时，由△OMN∽△BCO，得出$\frac{OM}{BC}$=$\frac{MN}{BO}=\frac{OD}{CE}$=$\frac{5}{8}$，求出OM，与勾股定理求出DM，即可得出CM的长．

解答 解：∵∠ACB=90°，点O为AB中点，AB=A′B′=10，BC=B′C′=6，
∴OC=$\frac{1}{2}$AB=OA=OB=5，AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=8，
∵△ABC≌△A′B′C′，
∴∠B=∠MON．
若△OMN与△BCO相似，分两种情况：
①当OM=MN时，作OD⊥AC于D，CE⊥AB于E，如图所示：
则AD=CD=$\frac{1}{2}$AC=4，△ABC的面积=$\frac{1}{2}$AB•CE=$\frac{1}{2}$AC•BC，
∴OD=$\sqrt{O{A}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3，CE=$\frac{AC•BC}{AB}$=$\frac{24}{5}$，
∵△OMN∽△BOC，
∴$\frac{MN}{BO}=\frac{OD}{CE}$=$\frac{3}{\frac{24}{5}}$=$\frac{5}{8}$，
即$\frac{MN}{5}=\frac{5}{8}$，
∴OM=MN=$\frac{25}{8}$，
∴DM=$\sqrt{O{M}^{2}-O{D}^{2}}$=$\frac{7}{8}$，
∴CM=CD-DM=4-$\frac{7}{8}$=$\frac{25}{8}$；
②当ON=MN时，
∵△OMN∽△BCO，
∴$\frac{OM}{BC}$=$\frac{MN}{BO}=\frac{OD}{CE}$=$\frac{3}{\frac{24}{5}}$=$\frac{5}{8}$，
即$\frac{OM}{6}=\frac{5}{8}$，
解得：OM=$\frac{15}{4}$，
∴DM=$\sqrt{O{M}^{2}-O{D}^{2}}$=$\frac{9}{4}$，
∴CM=CD-DM=4-$\frac{9}{4}$=$\frac{7}{4}$；
综上所述：当CM=$\frac{25}{8}$或$\frac{7}{4}$时，△OMN与△BCO相似．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质、旋转的性质、勾股定理、等腰三角形的判定、直角三角形斜边上的中线性质等知识；熟练掌握勾股定理，证明三角形相似是解决问题的关键．