Question

19．如图，已知抛物线y=$\frac{1}{2}$x²+bx与直线y=2x交于点O（0，0），A（a，16），点B是抛物线上O，A之间的一个动点，过点B分别作x轴、y轴的平行线与直线OA交于点C，E．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）若OC=$\frac{3}{5}$AC，求BC的长；
（3）以BC，BE为边构造矩形BCDE，设点D的坐标为（m，n），直接写出m，n之间的关系式．

Answer 1

分析 （1）将点A的坐标代入直线解析式求出a的值，继而将点A的坐标代入抛物线解析式可得出b的值，继而得出抛物线解析式；
（2）根据OC=$\frac{3}{5}$AC以及点A的坐标，求出点C的坐标，将点B的纵坐标代入二次函数解析式求出点B的横坐标，继而可求出BC的长度；
（3）根据点D的坐标，可得出点E的坐标，点C的坐标，继而确定点B的坐标，将点B的坐标代入抛物线解析式可求出m，n之间的关系式．

解答 解：（1）∵点A（a，16）在直线y=2x上，
∴16=2a，
解得：a=8，
∴A（8，16）．
又∵点A是抛物线y=$\frac{1}{2}$x²+bx上的一点，
∴16=$\frac{1}{2}$×8²+8b，
解得b=-2，
∴抛物线解析式为y=$\frac{1}{2}$x²-2x；

（2）∵OC=$\frac{3}{5}$AC，A（8，16），
∴C（3，6），
∴点B的纵坐标是6，
∴$\frac{1}{2}$x²-2x=6，解得x₁=6，x₂=-2，
∴点B的坐标是（6，6），
∴BC=6-3=3；

（3）∵直线OA的解析式为：y=2x，
点D的坐标为（m，n），
∴点E的坐标为（$\frac{1}{2}$n，n），点C的坐标为（m，2m），
∴点B的坐标为（$\frac{1}{2}$n，2m），
把点B（$\frac{1}{2}$n，2m）代入y=$\frac{1}{2}$x²-2x，可得2m=$\frac{1}{2}$•（$\frac{1}{2}$n）²-2×$\frac{1}{2}$n，
∴m、n之间的关系式为m=$\frac{1}{16}$n²-$\frac{1}{2}$n．

点评 本题是二次函数综合题，其中涉及到利用待定系数法求二次函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，两点间的距离公式，矩形的性质等知识，解答本题需要同学们能理解矩形四个顶点的坐标之间的关系．