Question

11．如图，在?ABCD中，∠ABC与∠BAD的平分线交于点P，且点P在CD边上．
（1）求∠APB的度数；
（2）若AD=10，AP=16，求△ABP的周长．

Answer 1

分析 （1）由平行四边形的性质得出AD∥BC，AD=BC，AB=CD，得出∠ABC+∠BAD=180°，由角平分线得出∠ABP=∠CBP=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠BAP=$\frac{1}{2}$∠BAD，即可得出结果；
（2）证出∠BPC=∠CBP，得出PC=BC=AD=10，同理：PD=AD=10，因此AB=CD=20，由勾股定理求出BP，即可得出结果．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AD=BC，AB=CD，
∴∠ABC+∠BAD=180°，
∵∠ABC与∠BAD的平分线交于点P，
∴∠ABP=∠CBP=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠BAP=$\frac{1}{2}$∠BAD，
∴∠ABP+∠BAP=$\frac{1}{2}$×180°=90°；
（2）∵AB∥CD，
∴∠ABP=∠BPC，
∵∠ABP=∠CBP，
∴∠BPC=∠CBP，
∴PC=BC=AD=10，
同理：PD=AD=10，
∴AB=CD=20，
∵∠APB=90°，AP=16，
∴BP=$\sqrt{A{B}^{2}-A{P}^{2}}$=$\sqrt{2{0}^{2}-1{6}^{2}}$=12，
∴△ABP的周长=AB+AP+BP=20+16+12=48．

点评 此题主要考查了角平分线的定义、平行四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定、勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明等腰三角形是解决问题（2）的关键．