Question

【题目】如图1，经过点B(1，0)的抛物线与y轴交于点C，其顶点为点G，过点C作y轴的垂线交抛物线对称轴于点D，线段CO上有一动点M，连接DM、DG．

（1）求抛物线的表达式；

（2）求的最小值以及相应的点M的坐标；

（3）如图2，在（2）的条件下，以点A(﹣2，0)为圆心，以AM长为半径作圆交x轴正半轴于点E．在y轴正半轴上有一动点P，直线PF与⊙A相切于点F，连接EF交y轴于点N，当PF∥BM时，求PN的长．

Answer 1

【答案】（1）；（2）最小值，M(0，)；（3） ．

【解析】

（1）将点B的坐标代入解析式即可求出a的值，即可确定函数解析式；

（2）过点O作直线l与x轴夹角为α，且，α＝45°，过点M作MH⊥直线l于H，推出，则当D、M、H共线时，的值最小，最后求出DH的长即可解答；

（3）连接BM，延长FA交y轴于J．想办法求出FJ，根据tan∠FPJ＝tan∠OMB，可得＝，由此构建方程求出PF，再证明PN＝PF即可解决问题．

解：（1）∵抛物线，经过点B(1，0)，

∴0＝4a﹣，

∴a＝

∴．

（2）如图1：过点O作直线l与x轴夹角为α，且，α＝45°，过点M作MH⊥直线l于H，

则有，

∴，

∴，

∴，

∴当D，M，H共线时，的值最小，

∵D(﹣1，﹣)，直线l的解析式为y＝﹣x，

∴直线DH的解析式为y＝x﹣，

由，解得，

∴H(，﹣)，M(0，)，

∴DH＝＝，

∵DG＝﹣+＝，

∴的最小值==．

（3）如图2中，连接BM，延长FA交y轴于J．

∵A(﹣2，0)，M(0，﹣)，

∴AM＝AF＝＝，

∵B(1，0)，

∴直线BM的解析式为y＝x﹣，

∵PF是⊙A的切线，

∴PF⊥AF，

∵PF∥BM，

∴AF⊥BM，

∴直线AF的解析式为y＝﹣x﹣，

∴J(0，﹣)，

∴AJ＝＝，

∴FJ＝AF+AJ＝，

∵PF∥BM，

∴∠FPJ＝∠OMB，

∴tan∠FPJ＝tan∠OMB，

∴＝，

∴＝，

∴PF＝，

∵AF＝AE，

∴∠AFE＝∠AEF，

∵∠AFE+∠PFN＝90°，∠AEN+∠ONE＝90°，∠PNF＝∠ENO，

∴∠PFN＝∠PNF，

∴PN＝PF＝ ．