Question

9．过⊙O外一点A作圆的切线，切点为B，联结OA，交⊙O于点C．
（1）若⊙O的半径为1，AC=2，求AB的长；
（2）若$\frac{AC}{CO}$=n，△ABC的外接圆直径为d，求$\frac{d}{BC}$的值（用含n的式子表示）

Answer 1

分析 （1）在RT△ABO中，利用勾股定理即可解决．
（2）设点H是△ABC的外接圆的圆心，连接HB、HC、HA，OH交BC于点E，先证明△BHE∽△OAB，得$\frac{BH}{AO}$=$\frac{BE}{BO}$，由$\frac{d}{BC}$=$\frac{BH}{BE}$=$\frac{AO}{BO}$，即可解决问题．

解答 解：（1）如图，∵AB切⊙O于点B，
∴OB⊥AB，
在Rt△ABO中，OB=1，OA=AC+OC=3，
∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}-O{B}^{2}}$=2$\sqrt{2}$；
（2）设点H是△ABC的外接圆的圆心，连接HB、HC、HA，OH交BC于点E，
∵OB=OC，HB=HC，
∴OH垂直平分BC，
∴BE=EC，HE⊥BC，
∴∠BHE=∠CHE，
∴∠CAB=$\frac{1}{2}$∠BHC=∠BHE，
∵∠BEH=∠ABO=90°，
∴△BHE∽△OAB，
∴$\frac{BH}{AO}$=$\frac{BE}{BO}$，
∵AC=nOC，
∴$\frac{BH}{BE}$=$\frac{AO}{BO}$=$\frac{OC+nOC}{Oc}$=n+1，
∴$\frac{d}{BC}$=$\frac{BH}{BE}$=n+1．

点评 本题考查切线的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形，利用相似三角形的性质解决问题，属于中考常考题型．