Question

9．如图，将长方形纸片ABCD折叠，使得AB与AD重合，点B落在点E处，压平得折痕AF，则四边形ABFE是正方形：再将CD与AD重合，点C落在点H处，压平得折痕DG，则四边形CDHG也是正方形，展开后发现四边形EFGH正好与四边形ABCD相似，量得AB=10cm
（1）求证：EH=FG；   
（2）求线段AD的长．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性质得出AD=BC，AB=DC，由正方形的性质得出AE=BF=AB=EF，DH=CG=DC=HG，即可得出结论；
（2）设EH=xcm，则AD=（x+20）cm；由相似多边形的性质得出对应边成比例$\frac{EH}{AB}=\frac{EF}{AD}$，求出x，即可得出AD的长．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AB=DC，
∵四边形ABFE和四边形CDHG是正方形，
∴AE=BF=AB=EF，DH=CG=DC=HG，
∴AE=BF=DH=GC=EF=HG，
∴EH=FG；
（2）解：设EH=xcm，则AD=（x+20）cm；
∵四边形EFGH∽四边形ABCD，
∴$\frac{EH}{AB}=\frac{EF}{AD}$，
即$\frac{x}{10}=\frac{10}{x+20}$，
解得：x=-10±10$\sqrt{2}$（负值舍去），
∴x=-10+10$\sqrt{2}$，
∴AD=-10+10$\sqrt{2}$+20=10+10$\sqrt{2}$（cm）．

点评 本题考查了矩形的性质、正方形的性质、相似多边形的性质；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．