Question

3．如图，菱形ABCD，∠A=60°，M，N分别在AD，DC上，且∠BMN=60°．
（1）求证：BM=MN；
（2）若M，N分别在DA，CD的延长线，上述结论是否成立，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）连接BD，先证明△ABD为等边三角形，得出∠ABD=60°，AB=BD，同理得出∠BDC=60°，证出∠NMD=∠ABM，证明M、D、N、B四点共圆，证出∠ABM=∠DBN，证明△AMB≌△DNB，即可得出结论；
（2）同（1）可证．

解答 （1）证明：连接BD，如图1所示：
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=AD，
∵∠A=60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴∠ABD=60°，AB=BD，
同理：∠BDC=60°，
∵∠BMD=60°+∠NMD=∠A+∠ABM，
∴∠NMD=∠ABM，
∵∠BMN=∠BDN=60°，
∴M、D、N、B四点共圆，
∴∠NMD=∠DBN，
∴∠ABM=∠DBN，
在△AMB和△DNB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ABM=∠DBN}&{\;}\\{∠A=∠BDN}&{\;}\\{AB=DB}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AMB≌△DNB（AAS），
∴BM=BN，
又∵∠BMN=60°，
∴△BMN为等边三角形，
∴BM=MN；
（2）成立；理由如下：如图2所示：
同（1）可证：B、M、N、D四点共圆，△AMB≌△DNB，
∴BM=BN，
∴△BMN是等边三角形，
∴BM=MN．

点评 本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、四点共圆；本题难度较大；需要通过辅助线证明三角形全等和四点共圆才能得出结论．