Question

14．在△ABC中，CD，AE分别为AB、BC边上的高，∠B=60°，求证：DE=$\frac{1}{2}$AC．

Answer 1

分析 根据直角三角形的性质，可得BE与AB，BD与BC的关系，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形，可得△BDE与△BAC的关系，根据相似三角形的性质，可得答案．

解答 证明：∵AE⊥BC，CD⊥AB，
∴∠AEB=∠BDC=90°．
∵∠ABC=60°，
∴∠BAE=30°，
∴AB=2BE，
即$\frac{BE}{AB}$=$\frac{1}{2}$；
∴∠BCD=30°，
∴BC=2BD，
即$\frac{BD}{BC}$=$\frac{1}{2}$．
∵∠B=∠B，
∴△BDE∽△BAC，
∴$\frac{DE}{AC}$=$\frac{BD}{BC}$，
∴DE=$\frac{1}{2}$AC．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．