Question

9．如图，已知△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于F，若S_△ABC=36cm²，S_△AEF=4cm²，求sinA的值．

Answer 1

分析 由CE⊥AB，BF⊥AC，得到∠AEC=∠AFB=90°．推出△AFB∽△AEC，得到$\frac{AF}{AE}=\frac{AC}{AB}$，证得△AEF∽△ACB，求出$\frac{AF}{AC}=\sqrt{\frac{{S}_{△AEF}}{{S}_{△ABC}}}$=$\frac{1}{3}$，即cosA=$\frac{1}{3}$，由sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=即可得到结论．

解答 证明：∵CF⊥AB，BE⊥AC，
∴∠AFC=∠AEB=90°．
∵∠A=∠A，
∴△AEB∽△AFC，
$\frac{AF}{AE}=\frac{AC}{AB}$，
即$\frac{AF}{AC}=\frac{AE}{AB}$，
∴△AEF∽△ABC，
∵S_△ABC=36cm²，S_△AEF=4cm²，
∴$\frac{AF}{AC}=\sqrt{\frac{{S}_{△AEF}}{{S}_{△ABC}}}=\sqrt{\frac{4}{36}}=\frac{1}{3}$，
∴cosA=$\frac{1}{3}$，
∴sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\sqrt{1-（\frac{1}{3}）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，垂直的定义，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．